Operații cu mulțimi

Reuniunea a două mulțimi $A$ și $B$ este mulțimea notată $A \cup B,$ formată din toate elementele celor două mulțimi, comune și necomune, luate o singură dată.

Exemplu: Fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{2,4\}.$ Atunci $A \cup B = \{1,2,3,4\}.$

Intersecția a două mulțimi $A$ și $B$ este mulțimea notată $A \cap B,$ formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură dată.

Exemplu: Fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{2,4\}.$ Atunci $A \cap B = \{2\}.$

Diferența a două mulțimi $A$ și $B$ este mulțimea notată $A \backslash B,$ formată din elementele mulțimii $A$ care nu aparțin mulțimii $B.$

Exemplu: Fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{2,4\}.$ Atunci $A \backslash B = \{1,3\}$ și $B \backslash A = \{4\}.$

Două mulțimi a căror intersecție este mulțimea vidă se numesc mulțimi disjuncte.

E.129. Determinați mulțimile $A$ și $B$ care îndeplinesc condițiile:

$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$ ;
$A \cap B = \{2,3\}$ ;
mulțimea $B$ are cel puțin $4$ elemente;
suma elementelor mulțimii $A$ este un număr prim.

Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2020

E.130. Arătați că mulțimile $A=\{6^n+1,~6^n+2,~5n+3,~5n+7 ~ | ~ n \in \N^*\}$ și $B=\{ k^2 ~|~ k\in \N\}$ sunt disjuncte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020

E.132. Considerăm mulțimile $X$ și $Y$ . Care este cea mai mică sumă a elementelor mulțimii $X$ , dacă sunt satisfăcute următoarele condiții:

$X \cap Y = \phi$ ;
$X \cup Y = \{8,9,10,11,12,13,14\}$ ;
dacă $a+1 \in X$ , atunci $a \in Y$ ;
$card~X \geq 3$ .

Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2020

E.133. Se dau mulțimile $A=\{x~ | ~ x=2^{4n+3}+5^n-1,~ n\in \N \}$ și $B=\{y ~ | ~ y=4^m,~ m\in \N \}$ . Arătați că $A \cap B = \phi$ .

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2020