Exercițiul 269

E.269. Se consideră mulțimile A={12,22,32,…,20182}A=\{1^2, 2^2, 3^2, \ldots , 2018^2\} și B={13,23,33,…,20183}.B=\{1^3, 2^3, 3^3, \ldots , 2018^3\}. Determinați card(A∩B)card (A \cap B);

Olimpiadă, etapa locală, Timiș și Sibiu, 2019
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Mulțimea A∩BA \cap B este formată din elemente care sunt atât pătrate perfecte, cât și cuburi perfecte. Deci A∩B={x6 ∣ x6≤20182}.A \cap B=\{x^6 ~|~ x^6 \leq 2018^2 \}.

Răspuns: card(A∩B)=12.card (A \cap B)=12.

Soluție:

Se observă că mulțimea A∩BA \cap B este formată din elemente care sunt atât pătrate perfecte, cât și cuburi perfecte. Deci A∩B={x6 ∣ x6≤20182}.A \cap B=\{x^6 ~|~ x^6 \leq 2018^2 \}.
Din x6≤20182x^6 \leq 2018^2 rezultă x3≤2018.x^3 \leq 2018.
Prin încercări obținem 123=172812^3=1728 și 133=2197.13^3=2197. Prin urmare, valoarea maximă a lui xx este 1212.
Așadar, A∩B={16,26,…,126},A \cap B = \{1^6, 2^6, \ldots , 12^6 \}, deci card(A∩B)=12.\boxed{card(A \cap B)=12}.