Exercițiul 129

E.129. Determinați mulțimile AA și BB care îndeplinesc condițiile:

  1. A∪B={1,2,3,4,5,6}A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\};
  2. A∩B={2,3}A \cap B = \{2,3\};
  3. mulțimea BB are cel puțin 44 elemente;
  4. suma elementelor mulțimii AA este un număr prim.
Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: Problema are 33 soluții:

  • B={2,3,4,6}, A={1,2,3,5};B=\{2,3,4,6\},~A=\{1,2,3,5\};
  • B={1,2,3,4,5}, A={2,3,6};B=\{1,2,3,4,5\},~A=\{2,3,6\};
  • B={1,2,3,4,5,6}, A={2,3}.B=\{1,2,3,4,5,6\},~A=\{2,3\}.
Soluție:

Caz 1: BB are 4 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4 5, 6 16
1, 5 4, 6 15
1, 6 4, 5 14
4, 5 1, 6 12
4, 6 1, 5 11 (prim)
5, 6 1, 4 10

Caz 2: BB are 5 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4, 5 6 11 (prim)
1, 4, 6 5 10
1, 5, 6 4 9
4, 5, 6 1 6

Caz 3: BB are 6 elemente:

B-A A-B Sum(A)
1, 4, 5, 6 ∅ 5 (prim)

Așadar, problema are 33 soluții:

  • B={2,3,4,6}, A={1,2,3,5};B=\{2,3,4,6\},~A=\{1,2,3,5\};
  • B={1,2,3,4,5}, A={2,3,6};B=\{1,2,3,4,5\},~A=\{2,3,6\};
  • B={1,2,3,4,5,6}, A={2,3}.B=\{1,2,3,4,5,6\},~A=\{2,3\}.