Exercițiul 130

E.130. Arătați că mulțimile A={6n+1, 6n+2, 5n+3, 5n+7 ∣ n∈N∗}A=\{6^n+1,~6^n+2,~5n+3,~5n+7 ~ | ~ n \in \N^*\} și B={k2 ∣ k∈N}B=\{ k^2 ~|~ k\in \N\} sunt disjuncte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: Se arată că niciunul dintre elementele mulțimii AA nu este pătrat perfect.

Indicația 2: Pentru a arăta că niciunul dintre elementele mulțimii AA nu este pătrat perfect, folosim ultima cifră.

Soluție:
  • Uc(6n+1)∈{2, 7};U_c(6^n+1) \in \{2,~7\};
  • Uc(6n+2)∈{3, 8};U_c(6^n+2) \in \{3,~8\};
  • Uc(5n+3)∈{3, 8};U_c(5n+3) \in \{3,~8\};
  • Uc(5n+7)∈{2, 7}.U_c(5n+7) \in \{2,~7\}.

Cum niciunul dintre elementele mulțimii AA nu este pătrat perfect, rezultă că AA și BB nu au elemente comune (sunt disjuncte).