Exercițiul 270

E.270. Fie a, b∈Na,~b \in \N și mulțimile A={3a+3, 7}A=\{3a+3, ~7\} și B={3a+1, b+3}.B=\{3a+1, ~b+3\}. Determinați aa și bb ∈N,\in \N, astfel încât A∪BA \cup B să aibă două elemente.

Violeta-Eva Markus, Olimpiadă, etapa locală, Sălaj, 2020
MM, 15.12.2021
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: AA și BB au fiecare câte două elemente, deci A=B.A=B.

Indicația 2: Se observă că 3a+3≠3a+1.3a+3 \not= 3a+1.

Răspuns: A∪B={7, 9}.A \cup B = \{7,~9\}.

Soluție:

Din ipoteză, mulțimile AA și BB au fiecare câte două elemente. Deci card(A∪B)=2card (A \cup B)=2 implică A=B.A=B.

Cum 3a+3≠3a+1,3a+3 \not= 3a+1, mai rămâne doar posibilitatea
3a+3=b+33a+3=b+3 și 7=3a+1.7=3a+1. De aici obținem a=2,\boxed{a=2}, apoi b=6.\boxed{b=6}.