Elementele unei mulțimi

a) Observăm că elementele mulțimii sunt de forma $4k+3$, cu $k \in \N$, deci:
$A=\{4 \cdot 0 + 3,~ 4 \cdot 1 +3,~ \cdots, ~4 \cdot 99 + 3 \}$.

Împărțind cele 4 numere la 4, obținem:
$123=4 \cdot 30 + 3 \Rightarrow 123 \in A$;
$321=4 \cdot 80 + 1 \Rightarrow 321 \not\in A$;
$399=4 \cdot 99 + 3 \Rightarrow 399 \in A$
$435=4 \cdot 108 +3 \Rightarrow 435 \not \in A$ (prea mare).

b) Cel mai mare element al mulțimii este $4 \cdot 99 + 3$, adică $399$.
$S= 4(0+1+2+ \cdots + 99) + 3 \cdot 100 = 20100$.

a) Ultimele două cifre ale lui $2012$ sunt divizibile cu $4$, deci $2012$ este de forma $4k$ (nu $4k+2$), deci $2012 \not \in A$.

b) Fie $a=4p+2$ și $b=4q+2$ două numere oarecare din mulțimea $A$. Avem:
$\text{Suma} = a+b=4(p+q+1)$.
$\text{Diferența} = a-b=4(p-q)$.

$\bullet$ Dacă $a$ și $b$ a parități diferite, atunci $p+q+1 = par \Rightarrow \text{Suma} = M_8$.
$\bullet$ Dacă $a$ și $b$ au aceeași paritate, atunci $p-q = par \Rightarrow \text{Diferența} = M_8$.

a) Elementele mulțimii $A$ sunt de forma $6k+3,~ k \in \{0,1,2,...,335\}.$

• $597 = 6 \cdot 99 + 3$, deci $597 \in A;$
• $727 = 6 \cdot 121 + 1$, deci $727 \not\in A;$

b) $S = 6(0+1+2+...+335) + 3 \cdot 336 = 3 \cdot 336^2 = 338688.$

c) $S = 6[0+1+2+...+(n-1)] + 3n = 3n^2,$ care nu este pătrat perfect.

a) Nr. prime și pătratele perfecte se găsesc prin încercări pe primele $6$ valori ale lui $n$.
Pentru cuburi perfecte, verificăm pe rând $2^3$, $3^3$ etc și constatăm că $4^3$ este primul care este de forma $3k+1$.

b) Fie $n_1=3a+1$, $n_2=3b+1$, $n_3=3c+1$ și $n_4=3d+1$ cele 4 numere. Suma lor este $S = 3(a+b+c+d) + 4.$
$S \not= 2012$ pentru că $3(a+b+c+d)\not= 2008.$

a)
$\bullet \quad 28^{28} = 28^{27}(27+1) = \big(28^9 \big)^3 \big(3^3 + 1^3 \big) = \big(28^9 \cdot 3 \big)^3 + \big(28^9 \cdot 1 \big)^3$
$\bullet \quad 1792^{1792} = 1792^{1791}(1728 + 64) = \big(1792^{597} \big)^3 \big(12^3 + 4^3 \big) = \big(1792^{597} \cdot 12 \big)^3 + \big(1792^{597} \cdot 4 \big)^3$.

b) Vom arăta că există o infinitate de numere de forma $n^n$ care pot fi scrise ca sumă de două cuburi perfecte.

$n^n=n^{(n-1)+1} = n^{n-1} \cdot n$.

Alegem $\boxed{n=a^3+b^3}$ (1) cu $a,~b \in \N^*,~ a \not=b$ și egalitatea de mai sus devine: $n^n = n^{n-1} a^3 + n^{n-1} b^3$. Pentru ca în membrul drept să avem o sumă de cuburi perfecte, este necesar ca $n-1$ să fie un multiplu de $3$, adică $\boxed{n=3k+1}$ (2), cu $k \in \N$.

Cu această ultimă condiție obținem $n^n=n^{3k}a^3 + n^{3k}b^3$, adică forma cerută: $\boxed{n^n = (n^ka)^3 + (n^kb)^3}$.

Din (1) și (2) rezultă $\boxed{a^3 + b^3 = M_3 + 1}$ (3). Deci, problema se reduce la a arăta că există o infinitate de perechi $(a,~b)$ care satisfac relația (3).

Observăm, spre exemplu, că pentru $a=3p$, cu $p \in \N^*$ și $b=1$ avem $a^3 + b^3 = M_3^3 +1^3 = M_3 + 1$. Așadar, există o infinitate de perechi $(a,~b)$ care îndeplinesc condiția (3). Și de aici, concluzia cerută.