Exercițiul 135

E.135. Fie mulțimea A={3, 9, 15, ⋯ , 2013}A=\{3,~ 9,~ 15,~ \cdots,~2013\}.
a) Arătați că 597∈A597 \in A și 727∉A727 \not \in A.
b) Calculați suma elementelor din mulțimea AA.
c) Arătați că, oricare ar fi nn număr natural nenul, suma primelor nn elemente din AA, luate în ordine crescătoare, nu este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2020
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Elementele mulțimii AA sunt de forma 6k+3, k∈{0,1,2,...,335}.6k+3,~ k \in \{0,1,2,...,335\}.

Răspuns: S=338688S =338688. Suma este de forma 3n23n^2, care nu este pătrat perfect.

Soluție:

a) Elementele mulțimii AA sunt de forma 6k+3, k∈{0,1,2,...,335}.6k+3,~ k \in \{0,1,2,...,335\}.

  • 597=6⋅99+3597 = 6 \cdot 99 + 3, deci 597∈A;597 \in A;
  • 727=6⋅121+1727 = 6 \cdot 121 + 1, deci 727∉A;727 \not\in A;

b) S=6(0+1+2+...+335)+3⋅336=3⋅3362=338688.S = 6(0+1+2+...+335) + 3 \cdot 336 = 3 \cdot 336^2 = 338688.

c) S=6[0+1+2+...+(n−1)]+3n=3n2,S = 6[0+1+2+...+(n-1)] + 3n = 3n^2, care nu este pătrat perfect.