Exercițiul 138

E.138. Se consideră mulțimea A={3n+1 ∣ n∈N, 0<n≤169}A=\{3n+1 ~|~ n \in \N,~ 0<n \leq 169\}. Arătați că:
a) mulțimea AA conține cel puțin 33 numere prime, cel puțin două pătrate perfecte și cel puțin un cub perfect.
b) nu se pot alege patru numere diferite din mulțimea AA astfel încât suma lor să fie egală cu 20122012.

Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2013
RMCS nr. 40
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) Nr. prime și pătratele perfecte se găsesc prin încercări pe primele 66 valori ale lui nn.
Pentru cuburi perfecte, verificăm pe rând 232^3, 333^3 etc și constatăm că 434^3 este primul care este de forma 3k+13k+1.

Indicația 2: b) Se calculează suma pentru 44 numere oarecare n1=3a+1n_1=3a+1, n2=3b+1n_2=3b+1, n3=3c+1n_3=3c+1 și n4=3d+1n_4=3d+1.

Indicația 3: Se ajunge la 3(a+b+c+d)=20083(a+b+c+d)=2008 (fals).

Răspuns: Numere prime: 77, 1313, 1919;
Pătrate perfecte: 44, 1616;
Cub perfect: 64.

Soluție:

a) Nr. prime și pătratele perfecte se găsesc prin încercări pe primele 66 valori ale lui nn.
Pentru cuburi perfecte, verificăm pe rând 232^3, 333^3 etc și constatăm că 434^3 este primul care este de forma 3k+13k+1.

b) Fie n1=3a+1n_1=3a+1, n2=3b+1n_2=3b+1, n3=3c+1n_3=3c+1 și n4=3d+1n_4=3d+1 cele 4 numere. Suma lor este S=3(a+b+c+d)+4.S = 3(a+b+c+d) + 4.
S≠2012S \not= 2012 pentru că 3(a+b+c+d)≠2008.3(a+b+c+d)\not= 2008.