Exercițiul 139

E.139. Se consideră mulțimea A={x3+y3 ∣ x, y∈N∗A=\{x^3+y^3 ~|~ x,~y \in \N^* și x≠y}x \not=y \}.
a) Verificați dacă 2828∈A28^{28} \in A și 17921792∈A1792^{1792} \in A.
b) Demonstrați că AA conține o infinitate de elemente de forma nnn^n, cu n∈N∗n \in \N^*.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2019
Gazeta Matematică, 1/2012
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) 2828=2827(27+1)28^{28} = 28^{27}(27+1)

Indicația 2: nn trebuie să îndeplinească simultan două condiții: n=M3+1n= M_3 + 1 și n=a3+b3n= a^3 + b^3

Indicația 3: a=3ka=3k și b=3p+1b=3p+1 satisfac condiția.

Răspuns: a) 2828∈A28^{28} \in A și 17921792∈A1792^{1792} \in A

Soluție:

a)
∙2828=2827(27+1)=(289)3(33+13)=(289⋅3)3+(289⋅1)3\bullet \quad 28^{28} = 28^{27}(27+1) = \big(28^9 \big)^3 \big(3^3 + 1^3 \big) = \big(28^9 \cdot 3 \big)^3 + \big(28^9 \cdot 1 \big)^3
∙17921792=17921791(1728+64)=(1792597)3(123+43)=(1792597⋅12)3+(1792597⋅4)3\bullet \quad 1792^{1792} = 1792^{1791}(1728 + 64) = \big(1792^{597} \big)^3 \big(12^3 + 4^3 \big) = \big(1792^{597} \cdot 12 \big)^3 + \big(1792^{597} \cdot 4 \big)^3.

b) Vom arăta că există o infinitate de numere de forma nnn^n care pot fi scrise ca sumă de două cuburi perfecte.

nn=n(n−1)+1=nn−1⋅nn^n=n^{(n-1)+1} = n^{n-1} \cdot n.

Alegem n=a3+b3\boxed{n=a^3+b^3} (1) cu a, b∈N∗, a≠ba,~b \in \N^*,~ a \not=b și egalitatea de mai sus devine: nn=nn−1a3+nn−1b3n^n = n^{n-1} a^3 + n^{n-1} b^3. Pentru ca în membrul drept să avem o sumă de cuburi perfecte, este necesar ca n−1n-1 să fie un multiplu de 33, adică n=3k+1\boxed{n=3k+1} (2), cu k∈Nk \in \N.

Cu această ultimă condiție obținem nn=n3ka3+n3kb3n^n=n^{3k}a^3 + n^{3k}b^3, adică forma cerută: nn=(nka)3+(nkb)3\boxed{n^n = (n^ka)^3 + (n^kb)^3}.

Din (1) și (2) rezultă a3+b3=M3+1\boxed{a^3 + b^3 = M_3 + 1} (3). Deci, problema se reduce la a arăta că există o infinitate de perechi (a, b)(a,~b) care satisfac relația (3).

Observăm, spre exemplu, că pentru a=3pa=3p, cu p∈N∗p \in \N^* și b=1b=1 avem a3+b3=M33+13=M3+1a^3 + b^3 = M_3^3 +1^3 = M_3 + 1. Așadar, există o infinitate de perechi (a, b)(a,~b) care îndeplinesc condiția (3). Și de aici, concluzia cerută.