Exercițiul 137

E.137. Se consideră mulțimea A={4k+2 ∣ k∈N∗}A=\{4k+2 ~|~ k \in \N^*\}.
a) Verificați dacă 2012∈A2012 \in A.
b) Arătați că, oricum am alege două numere din mulțimea AA, suma sau diferența acestora este multiplu de 88.

Lucian Petrescu, Olimpiadă, etapa locală, București, 2020
Indicații (3) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Se determină restul împărțirii lui 20122012 la 44. Se verifică astfel dacă 20122012 se poate scrie sub forma 4k+24k+2.

Indicația 2: Se calculează suma și produsul pentru două numere oarecare a=4p+2a=4p+2 și b=4q+2b=4q+2.

Indicația 3: Se tratează cazurile când aa și bb au, sau nu, aceeași paritate.

Răspuns: 2012∉A2012 \not \in A.

Soluție:

a) Ultimele două cifre ale lui 20122012 sunt divizibile cu 44, deci 20122012 este de forma 4k4k (nu 4k+24k+2), deci 2012∉A2012 \not \in A.

b) Fie a=4p+2a=4p+2 și b=4q+2b=4q+2 două numere oarecare din mulțimea AA. Avem:
Suma=a+b=4(p+q+1)\text{Suma} = a+b=4(p+q+1).
Diferența=a−b=4(p−q)\text{Diferența} = a-b=4(p-q).

∙\bullet Dacă aa și bb a parități diferite, atunci p+q+1=par⇒Suma=M8p+q+1 = par \Rightarrow \text{Suma} = M_8.
∙\bullet Dacă aa și bb au aceeași paritate, atunci p−q=par⇒Diferența=M8p-q = par \Rightarrow \text{Diferența} = M_8.