Exercițiul 134

E.134. Fie mulțimea A={3, 7, 11, 15, ⋯ }A=\{3,~ 7,~ 11,~ 15,~ \cdots \} și card A=100card~A=100.
a) Sunt numerele 123123, 321321, 399399 și 435435 elemente ale mulțimii AA?
b) Aflați cel mai mare element al mulțimii și suma elementelor lui AA.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2013
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Elementele mulțimii sunte de forma 4k+34k+3, cu k∈Nk \in \N.

Răspuns: Doar 123123 și 399399 aparțin mulțimii AA. Cel mai mare element este 399399, iar suma 2010020100.

Soluție:

a) Observăm că elementele mulțimii sunt de forma 4k+34k+3, cu k∈Nk \in \N, deci:
A={4⋅0+3, 4⋅1+3, ⋯ , 4⋅99+3}A=\{4 \cdot 0 + 3,~ 4 \cdot 1 +3,~ \cdots, ~4 \cdot 99 + 3 \}.

Împărțind cele 4 numere la 4, obținem:
123=4⋅30+3⇒123∈A123=4 \cdot 30 + 3 \Rightarrow 123 \in A;
321=4⋅80+1⇒321∉A321=4 \cdot 80 + 1 \Rightarrow 321 \not\in A;
399=4⋅99+3⇒399∈A399=4 \cdot 99 + 3 \Rightarrow 399 \in A
435=4⋅108+3⇒435∉A435=4 \cdot 108 +3 \Rightarrow 435 \not \in A (prea mare).

b) Cel mai mare element al mulțimii este 4⋅99+34 \cdot 99 + 3, adică 399399.
S=4(0+1+2+⋯+99)+3⋅100=20100S= 4(0+1+2+ \cdots + 99) + 3 \cdot 100 = 20100.