Relații între mulțimi. Submulțimi

Două mulțimi sunt egale dacă sunt formate din aceleași elemente.

Exemplu: Dacă $A=\{2,~3,~5\}$ , $B=\{2,~5,~3\}$ și $C=\{2,~3,~4\}$ , atunci $A=B$ și $B \not=C$ .

Mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$ dacă orice element al mulțimii $A$ aparține mulțimii $B$ . Se mai spune că mulțimea $B$ include mulțimea $A$ .

Exemplu: Dacă $A=\{2,~3,~5\}$ , $B=\{2,~3,~4,~5\}$ și $C=\{2,~3,~4,~6\}$ , atunci $A \subset B$ și $B \not \subset C$ .

Dacă mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$ , adică $A \subset B$ , se spune că mulțimea $A$ este o submulțime a mulțimii $B$ .

Exemplu: Mulțimile $A=\{1,~2\}$ și $B=\{1,~3,~5\}$ sunt submulțimi ale lui $M=\{1,~2,~3,~5\}$ .

Observații:
$\bullet \quad$ Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
$\bullet \quad$ Orice mulțime este inclusă în ea însăși ( $A \subset A$ ).

Mulțimea tuturor submulțimilor (sau a părților) unei mulțimi $A$ se notează $\mathscr P(A)$ . Altfel spus, $\mathscr P(A)=\{X ~|~ X \subset A\}$ .

Teoremă: Dacă o mulțime $A$ are $n$ elemente, atunci $\mathscr P(A)$ are $2^n$ elemente.

Exemplu: Mulțimea $A=\{1,~2,~3\}$ are $2^3=8$ submulțimi. $\mathscr P(A) = \{\varnothing$ , $\{1\}$ , $\{2\}$ , $\{3\}$ , $\{1,~2\}$ , $\{1,~3\}$ , $\{2,~3\}$ , $\{1,~2,~3\}\}$ .