Cercul

E.552. Pe cercul $\cal C$$(O,r)$ se consideră punctele $A,B,M,P,Q,S,$ astfel încât $AB$ este diametru, $M,P,Q$ situate pe aceeași parte a dreptei $AB$, $P$ între $M$ și $Q$, iar $S$ de cealaltă parte a dreptei $AB,$ astfel încât $\overgroup{AM} \equiv \overgroup{PQ} \equiv \overgroup{BS} = 60\degree.$ Punctul $N$ este situat pe arcul mic $AS,$ astfel încât unghiurile $AON$ și $POQ$ sunt complementare.
a) Arătați că dreptele $ON$ și $MS$ sunt perpendiculare.
b) Dacă în plus, $\measuredangle{POM} = 5 \cdot \measuredangle{BOQ},$ iar $T$ este un punct situat pe arcul mic $SN,$ astfel încât $\measuredangle{BOQ} \equiv \measuredangle{SOT},$ arătați că dreapta $PO$ împarte arcul mic $TN$ în două arce congruente.

E.553. În cercul $\cal C$$(O,r)$ se consideră diametrele$MN$ și $PQ.$ Construim diametrul $EF$ astfel încât semidreapta $(OE$ să fie bisectoarea unghiului $MOP.$
a) Arătați că raza $OR$ este perpendiculară pe $EF,$ unde $R$ este mijlocul arcului mic $\overgroup{MQ}.$
b) Determinați măsura arcului $\overgroup{RQ},$ știind că măsura unghiului $MOE$ este egal cu $40\degree.$

E.554. Pe un cerc $\cal C$$(O,r)$ considerăm în ordinea rotirii acelor de ceasornic punctele $A_1, A_2,A_3, \ldots,A_{2n}$ astfel încât $A_i$ și $A_{i+1}$ să fie diametral opuse pentru orice $i \in \{1;2; \ldots;n\}.$
a) Pentru $n=5$ arătați că punctele date determină pe cerc cel puțin două arce cu măsura mai mică sau egală cu $36\degree$.
b) Dacă $M$ și $P$ sunt respectiv mijloacele arcelor $\overgroup{A_iA_{i+1}}$ și $\overgroup{A_{n+i}A_{n+i+1}}$ demonstrați că $M$ și $P$ sunt puncte diametral opuse pentru orice $i \in \{1;2; \ldots;n-1\}.$

E.555. În cercul $\cal C$$(O,R)$ se consideră diametrul $AB$ și $C$ mijlocul arcului $AB.$ Punctul $M$ se află pe arcul mic $BC$ ($M$ diferit de $B$ și $C$), $N$ se află pe arcul mic $AC$ ($N$ diferit de $A$ și $C$), astfel încât $\measuredangle{MON}=90\degree.$ Punctul $Q$ se află pe arcul $AB$ unde $C$ și $Q$ sunt de o parte și de cealaltă a dreptei $AB$ astfel încât $\measuredangle{CON} \equiv \measuredangle{ABQ}.$
a) Arătați că arcele mici $AN$ și $CM$ sunt congruente.
b) Arătați că dreptele $NO$ și $BQ$ sunt perpendiculare.

E.556. Fie un număr natural $n \geq3.$ Pe un cerc se consideră punctele distincte $A_1, A_2, \ldots,A_n,$ astfel încât arcele $\overgroup{A_1A_2},\overgroup{A_2A_3},\ldots,\overgroup{A_{n-1}A_n},\overgroup{A_nA_1}$ sunt congruente și $A_1 \in \overgroup{A_nA_2}, A_2 \in \overgroup{A_1A_3}, \ldots, A_n \in \overgroup{A_{n-1}A_1}.$ Demonstrați că printre punctele $A_1, A_2,\ldots,A_n$ există două puncte diametral opuse, dacă și numai dacă numărul natural $n$ este par.

E.557. Se consideră cercurile $\cal C_1$$(O_1,r_1)$ și $\cal C_2$$(O_2,r_2)$ cu $r_1=2$ cm, $r_2=3$ cm și $O_1O_2=4.5$ cm. Dacă dreapta $t$ este tangentă cercului $\cal C_1$$(O_1,r_1)$ în punctul $A$ și tangentă cercului $\cal C_2$$(O_2,r_2)$ în punctul $B,$ atunci:
a) determinați pozițiile relative ale celor două cercuri (justificare);
b) arătați că bisectoarea unghiului $AO_1B$ este paralelă cu bisectoarea unghiului $O_1BO_2.$