Exercițiul 553

E.553. În cercul C\cal C(O,r)(O,r) se consideră diametreleMNMN și PQ.PQ. Construim diametrul EFEF astfel încât semidreapta (OE(OE să fie bisectoarea unghiului MOP.MOP.
a) Arătați că raza OROR este perpendiculară pe EF,EF, unde RR este mijlocul arcului mic MQ⏠.\overgroup{MQ}.
b) Determinați măsura arcului RQ⏠,\overgroup{RQ}, știind că măsura unghiului MOEMOE este egal cu 40°.40\degree.

Olimpiadă, etapa locală, Satu-Mare, 2024; Argeș, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: b) RQ⏠=50°.\overgroup{RQ}=50\degree.

Soluție:

a) Din ipoteză avem MOE^=EOP^=NOF^=FOQ^=x\widehat{MOE}=\widehat{EOP}=\widehat{NOF}=\widehat{FOQ}=x și MOR^=ROQ^=y.\widehat{MOR} = \widehat{ROQ}=y.

EOR^=x+yFOR^=x+y}⇒EOR^=FOR^. Cum E,O,F coliniare ⇒EOR^=90°. \begin{rcases} \widehat{EOR} = x+y\\ \widehat{FOR} = x+y \end{rcases} \Rightarrow \boxed{\widehat{EOR} = \widehat{FOR}}. \text{ Cum } E,O,F \text{ coliniare } \Rightarrow \boxed{\widehat{EOR}=90\degree}.

b) RQ⏠=RF⏠−QF⏠=90−x⇒RQ⏠=50°\overgroup{RQ} = \overgroup{RF} - \overgroup{QF} = 90-x \Rightarrow \boxed{\overgroup{RQ}=50\degree}