Exercițiul 557

E.557. Se consideră cercurile C1\cal C_1(O1,r1)(O_1,r_1) și C2\cal C_2(O2,r2)(O_2,r_2) cu r1=2r_1=2 cm, r2=3r_2=3 cm și O1O2=4.5O_1O_2=4.5 cm. Dacă dreapta tt este tangentă cercului C1\cal C_1(O1,r1)(O_1,r_1) în punctul AA și tangentă cercului C2\cal C_2(O2,r2)(O_2,r_2) în punctul B,B, atunci:
a) determinați pozițiile relative ale celor două cercuri (justificare);
b) arătați că bisectoarea unghiului AO1BAO_1B este paralelă cu bisectoarea unghiului O1BO2.O_1BO_2.

Claudia Marchitan, Olimpiadă, etapa locală, Suceava, 2020
Soluție
Soluție:

a) r2−r1<O1O2<r2+r1⇒r_2-r_1 < O_1O_2 < r_2+r_1 \Rightarrow cercurile sunt secante.

b) Fie OEOE și BFBF cele două bisectoare.

O1A⊥ABO2B⊥AB}⇒O1A∥O2B⇒AO1B^=O1BO2^. \begin{rcases} O_1A \perp AB \\ O_2B \perp AB \end{rcases} \Rightarrow O_1A \parallel O_2B \Rightarrow \boxed{\widehat{AO_1B} = \widehat{O_1BO_2}}.
AO1B^=O1BO2^O11^=O12^ și B3^=B4^}⇒O12^=B3^⇒O1E∥BF. \begin{rcases} \widehat{AO_1B} = \widehat{O_1BO_2} \\ \widehat{O_{11}}= \widehat{O_{12}} \text{ și } \widehat{B_3}= \widehat{B_4} \end{rcases} \Rightarrow \widehat{O_{12}} = \widehat{B_3} \Rightarrow \boxed{O_1E \parallel BF}.