Exercițiul 554

E.554. Pe un cerc C\cal C(O,r)(O,r) considerăm în ordinea rotirii acelor de ceasornic punctele A1,A2,A3,…,A2nA_1, A_2,A_3, \ldots,A_{2n} astfel încât AiA_i și Ai+1A_{i+1} să fie diametral opuse pentru orice i∈{1;2;…;n}.i \in \{1;2; \ldots;n\}.
a) Pentru n=5n=5 arătați că punctele date determină pe cerc cel puțin două arce cu măsura mai mică sau egală cu 36°36\degree.
b) Dacă MM și PP sunt respectiv mijloacele arcelor AiAi+1⏠\overgroup{A_iA_{i+1}} și An+iAn+i+1⏠\overgroup{A_{n+i}A_{n+i+1}} demonstrați că MM și PP sunt puncte diametral opuse pentru orice i∈{1;2;…;n−1}.i \in \{1;2; \ldots;n-1\}.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2024
Soluție
Soluție:

a) Pentru n=5n=5 avem 1010 puncte și 1010 arce: A1A2⏠, A2A3⏠,…,A10A1⏠.\overgroup{A_1A_2},~\overgroup{A_2A_3}, \ldots, \overgroup{A_{10}A_1}.
Dacă toate aceste arce ar fi mai mari decât 36°,36\degree, ar rezulta că suma lor depășește 360°,360\degree, ceea ce este imposibil. Prin urmare, cel puțin unul dintre arce este mai mic sau egal cu 36°.36\degree. Dar cum fiecărui arc îi corespunde un arc cu aceeași măsură (unghiuri opuse la vârf), înseamnă că există două arce cu măsura mai mică sau egală cu 36°.36\degree.

b) AiAn+i și Ai+1An+i+1 diametre⇒AiOAi+1^=An+iOAn+i+1^.A_iA_{n+i} \text{ și } A_{i+1}A_{n+i+1} \text { diametre} \Rightarrow \widehat{A_iOA_{i+1}} = \widehat{A_{n+i}OA_{n+i+1}}.

AiOAi+1^=An+iOAn+i+1^M și N mijloace}⇒O1^=O2^=O3^=O4^. \begin{rcases} \widehat{A_iOA_{i+1}} = \widehat{A_{n+i}OA_{n+i+1}}\\ M \text { și } N \text{ mijloace} \end{rcases} \Rightarrow \widehat{O_1}= \widehat{O_2}= \widehat{O_3}= \widehat{O_4}.
Ai, O, An+i coliniare O1^=O3^}⇒M, O, P coliniare. \begin{rcases} A_i,~O,~ A_{n+i} \text{ coliniare }\\ \widehat{O_1}=\widehat{O_3} \end{rcases} \Rightarrow M,~O,~P \text{ coliniare}.