Exercițiul 555

E.555. În cercul C\cal C(O,R)(O,R) se consideră diametrul ABAB și CC mijlocul arcului AB.AB. Punctul MM se află pe arcul mic BCBC (MM diferit de BB și CC), NN se află pe arcul mic ACAC (NN diferit de AA și CC), astfel încât ∡MON=90°.\measuredangle{MON}=90\degree. Punctul QQ se află pe arcul ABAB unde CC și QQ sunt de o parte și de cealaltă a dreptei ABAB astfel încât ∡CON≡∡ABQ.\measuredangle{CON} \equiv \measuredangle{ABQ}.
a) Arătați că arcele mici ANAN și CMCM sunt congruente.
b) Arătați că dreptele NONO și BQBQ sunt perpendiculare.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2023
Soluție
Soluție:

AC⏠=CB⏠⇒O2^+O3^=90°O2^+O1^=90°}⇒O3^=O1^⇒AN⏠=CM⏠. \begin{rcases} \overgroup{AC} = \overgroup{CB} \Rightarrow \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 90\degree \\ \widehat{O_2} + \widehat{O_1} = 90\degree \end{rcases} \Rightarrow \widehat{O_3} = \widehat{O_1} \Rightarrow \boxed{\overgroup{AN} = \overgroup{CM}}.

b) Construium OD∥BQ,OD \parallel BQ, unde D∈CD \in \cal C$(O,R)

O4^=B^B^=O2^}⇒O4^=O2^⇒O3^+O4^=O3^+O2^=90°. \begin{rcases} \widehat{O_4} = \widehat{B} \\ \widehat{B} = \widehat{O_2} \end{rcases} \Rightarrow \boxed{\widehat{O_4} = \widehat{O_2}} \Rightarrow \widehat{O_3} + \widehat{O_4} = \widehat{O_3} + \widehat{O_2} = 90\degree.
NO⊥ODOD∥BQ}⇒NO⊥BQ. \begin{rcases} NO \perp OD \\ OD \parallel BQ \end{rcases} \Rightarrow \boxed{NO \perp BQ}.