Exercițiul 552

E.552. Pe cercul C\cal C(O,r)(O,r) se consideră punctele A,B,M,P,Q,S,A,B,M,P,Q,S, astfel încât ABAB este diametru, M,P,QM,P,Q situate pe aceeași parte a dreptei ABAB, PP între MM și QQ, iar SS de cealaltă parte a dreptei AB,AB, astfel încât AM⏠≡PQ⏠≡BS⏠=60°.\overgroup{AM} \equiv \overgroup{PQ} \equiv \overgroup{BS} = 60\degree. Punctul NN este situat pe arcul mic AS,AS, astfel încât unghiurile AONAON și POQPOQ sunt complementare.
a) Arătați că dreptele ONON și MSMS sunt perpendiculare.
b) Dacă în plus, ∡POM=5⋅∡BOQ,\measuredangle{POM} = 5 \cdot \measuredangle{BOQ}, iar TT este un punct situat pe arcul mic SN,SN, astfel încât ∡BOQ≡∡SOT,\measuredangle{BOQ} \equiv \measuredangle{SOT}, arătați că dreapta POPO împarte arcul mic TNTN în două arce congruente.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2024
Soluție
Soluție:

a) Din A,O,BA, O, B coliniare și AM⏠≡BS⏠⇒M,O,S\overgroup{AM} \equiv \overgroup{BS} \Rightarrow M,O,S coliniare.
Cum AONAON și POQPOQ sunt complementare și POQ^=AOM^⇒AON^+AOM^=90°.\widehat{POQ} = \widehat{AOM} \Rightarrow \boxed{\widehat{AON}+\widehat{AOM}=90\degree}.

b) Notăm PO ∩PO~ \cap C\cal C ={P′}, MOP^=x= \{P'\},~ \widehat{MOP}=x și BOQ^=SOT^=y.\widehat{BOQ}=\widehat{SOT}=y.

x=5yx+y=180−60−60=60°}⇒x=50° și y=10°. \begin{rcases} x=5y\\ x+y=180-60-60=60\degree \end{rcases} \Rightarrow \boxed{x=50 \degree} \text{ și } \boxed{y=10\degree}.
NOT^=90−y=80°NOP′^=180−30−60−x=40°}⇒NOP′^=P′OT^. \begin{rcases} \widehat{NOT} = 90 -y = 80\degree\\ \widehat{NOP'} = 180-30-60-x = 40\degree \end{rcases} \Rightarrow \boxed{\widehat{NOP'}=\widehat{P'OT}.}