Exercițiul 556

E.556. Fie un număr natural n≥3.n \geq3. Pe un cerc se consideră punctele distincte A1,A2,…,An,A_1, A_2, \ldots,A_n, astfel încât arcele A1A2⏠,A2A3⏠,…,An−1An⏠,AnA1⏠\overgroup{A_1A_2},\overgroup{A_2A_3},\ldots,\overgroup{A_{n-1}A_n},\overgroup{A_nA_1} sunt congruente și A1∈AnA2⏠,A2∈A1A3⏠,…,An∈An−1A1⏠.A_1 \in \overgroup{A_nA_2}, A_2 \in \overgroup{A_1A_3}, \ldots, A_n \in \overgroup{A_{n-1}A_1}. Demonstrați că printre punctele A1,A2,…,AnA_1, A_2,\ldots,A_n există două puncte diametral opuse, dacă și numai dacă numărul natural nn este par.

Lucica Ghișe, Olimpiadă, etapa locală, Brașov, 2023
Soluție
Soluție:

Observații generale:

  • nn puncte pe un cerc formează nn arce. Dacă toate arcele sunt egale, atunci măsura unui singur arc este 360°n.\dfrac{360\degree}{n}.
  • Numărul de arce dintre două puncte AiA_i și AjA_j este j−i.j-i. De exemplu, între punctele A3A_3 și A5A_5 sunt 5−3=25-3=2 arce: A3A4⏠\overgroup{A_3A_4} și A4A5⏠.\overgroup{A_4A_5}.

a) Presupunem că dacă nn este par, atunci există două puncte diametral opuse.
Dacă nn este par, există k∈N∗k \in \N^* astfel încât n=2k.n=2k. Între A1A_1 și Ak+1A_{k+1} există (k+1)−1=k(k+1)-1 = k arce identice, fiecare cu măsura 360°n.\dfrac{360\degree}{n}.
A1Ak+1⏠=k⋅360°n=k⋅360°2k=180°,\overgroup{A_1A_{k+1}}= k \cdot \dfrac{360\degree}{n} = k \cdot \dfrac{360\degree}{2k} = 180\degree, deci punctele A1A_1 și Ak+1A_{k+1} sunt diametral opuse.

b) Presupunem că dacă există două puncte diametral opuse, atunci nn este par.
Fie AiA_i și AjA_j cele două puncte diametral opuse. Între AiA_i și AjA_j există j−ij-i arce identice, fiecare cu măsura 360°n.\dfrac{360\degree}{n}.
180°=AiAj⏠=(j−i)⋅360°n⇒n=2(j−i),180\degree=\overgroup{A_iA_j} =(j-i) \cdot \dfrac{360\degree}{n} \Rightarrow \boxed{n=2(j-i)}, deci nn este par.