Trapezul. Linia mijlocie în trapez

Trapezul. Linia mijlocie în trapez

Patrulaterul convex care are două laturi paralele și două laturi neparalele se numește trapez. Laturile paralele se numesc baze.

  • Trapezul cu una dintre laturile neparalele perpendiculară pe baze se numește trapez dreptunghic.
  • Trapezul cu laturile neparalele congruente se numește trapez isoscel.

Teorema 1. Un trapez este isoscel dacă și numai dacă unghiurile alăturate unei baze sunt congruente.

Teorema 2. Un trapez este isoscel dacă și numai dacă diagonalele sunt congruente.

Segmentul de dreaptă care unește mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numește linie mijlocie în trapez.

Teorema 3. Într-un trapez, linie mijlocie este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma lungimilor acestora.

Teorema 4. Într-un trapez, segmentul determinat de intersecțiile diagonalelor cu linia mijlocie este egală cu semidiferența bazelor.

Nivel introductiv

E.161. Demonstrați că mijloacele laturilor unui trapez isoscel sunt vârfurile unui romb.

Art, 15/92, *
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Fiecare latură este jumătate din diagonală.

Soluție:

În △ABC\triangle ABC, MNMN linie mijlocie ⇒MN=AC/2.\Rightarrow MN=AC/2.
În △ADC\triangle ADC, PQPQ linie mijlocie ⇒PQ=AC/2.\Rightarrow PQ=AC/2.

Deci MN=PQ=AC2\boxed{MN=PQ=\dfrac{AC}{2}}. Analog, MQ=NP=BD2\boxed{MQ=NP=\dfrac{BD}{2}}.

Cum trapezul este isoscel ⇒AC=BD.\Rightarrow AC=BD.

Deci MN=PQ=MQ=NPMN=PQ=MQ=NP, adică MNPQ - romb\boxed{MNPQ \text{ - romb}}.

Nivel mediu

E.159. Să se demonstreze că într-un trapez, segmentul determinat de intersecțiile diagonalelor cu linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu semidiferența lungimilor bazelor.

Art, Teorema 4, pag.91
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Segmentul cerut se scrie ca diferența a doua linii mijlocii în triunghi.

Soluție:

MNMN - linie mijlocie ⇒MN\Rightarrow MN este paralelă cu bazele, deci și MPMP, PQPQ și QNQN vor fi paralele cu bazele.
În △ABD\triangle ABD, DM≡MADM\equiv MA, MQ∥AB⇒DQ≡QBMQ \parallel AB \Rightarrow DQ \equiv QB. Așadar MQMQ este linie mijlocie, deci MQ=AB2.\boxed{MQ=\dfrac{AB}{2}}.
Analog, MPMP este linie mijlocie în ACDACD, deci MP=DC2.\boxed{MP=\dfrac{DC}{2}}.

Deci PQ=MQ−MPPQ=MQ-MP, adică PQ=AB−DC2.\boxed{PQ=\dfrac{AB-DC}{2}}.

E.160. Fie trapezul dreptunghic ABCDABCD, cu ∡A=90°\measuredangle A=90\degree, AB∥CDAB \parallel CD, AB>CDAB>CD. Știind că ∡CAB=60°\measuredangle {CAB} = 60 \degree și AC⊥BCAC \perp BC, arătați că AB=4CDAB=4CD.

Art, 25/93, **
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Folosind teorema unghiului de 30°30 \degree se arată că AC=2DCAC=2DC.

Soluție:

∡CAB=60°⇒∡ABC=30°\measuredangle CAB=60\degree \Rightarrow \measuredangle ABC = 30\degree și ∡DAC=30°\measuredangle DAC = 30 \degree.

În △ABC\triangle ABC cu ∡C=90°⇒T30AB=2AC\measuredangle C=90\degree \overset{T30}{\Rightarrow} AB=2AC
În △ADC\triangle ADC cu ∡D=90°⇒T30AC=2DC\measuredangle D=90\degree \overset{T30}{\Rightarrow} AC=2DC

Deci AB=4DC\boxed{AB=4DC}.

E.162. În trapezul ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD, AB>CDAB>CD), diagonalele ACAC și BDBD sunt perpendiculare. Știind că ∡CAB=60°\measuredangle CAB=60\degree, AC=6AC=6 cm și AO=2⋅OCAO=2 \cdot OC, unde OO este punctul de intersecția al diagonalelor, calculați lungimea bazelor trapezului.

Art, 36/94, ***
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Se aplică de două ori T30 (teorema unghiului de 30°30\degree).

Răspuns: AB=8AB=8 cm, CD=4CD=4 cm.

Soluție:

Din AO+OC=6AO+OC=6 și AO=2⋅OCAO=2 \cdot OC rezultă AO=4\boxed{AO=4} și OC=2\boxed{OC=2}.

∡CAB=60°⇒∡ABO=30°\measuredangle CAB=60\degree \Rightarrow \measuredangle ABO = 30\degree și ∡CDO=30°\measuredangle CDO = 30 \degree.

În △ABO\triangle ABO cu ∡O=90°⇒T30AB=2AO\measuredangle O=90\degree \overset{T30}{\Rightarrow} AB=2AO, deci AB=8\boxed{AB=8}.
În △CDO\triangle CDO cu ∡O=90°⇒T30DC=2OC\measuredangle O=90\degree \overset{T30}{\Rightarrow} DC=2OC, deci CD=4\boxed{CD=4}.

E.163. În patrulaterul convex ABCDABCD se notează cu EE și FF mijloacele segmentelor ACAC, respectiv BDBD. Dacă EF∥CDEF \parallel CD, atunci arătați că ABCDABCD este trapez.

Art, 38/94, ***
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: Prelungim EFEF astfel încât EF∩BC={G}.EF \cap BC = \{G\}.

Indicația 2: Arătăm că ABAB și DCDC sunt paralele cu sunt paralele cu dreapta care trece prin EE, FF și GG.

Soluție:

Prelungim EFEF astfel încât EF∩BC={G}.EF \cap BC = \{G\}.
EF∥DC⇒FG∥DCEF \parallel DC \Rightarrow \boxed{FG \parallel DC} și EG∥DC(1).\boxed{EG \parallel DC} \quad (1).
Din DF=FBDF = FB și FG∥DCFG \parallel DC rezultă CG=GB.\boxed{CG=GB}.
Din CE=EACE=EA și CG=GBCG=GB rezultă EGEG - linie mijlocie, deci EG∥AB(2).\boxed{EG \parallel AB} \quad (2).

Din (1) și (2) ⇒AB∥DC\Rightarrow AB \parallel DC, adică ABCDABCD trapez.