Exercițiul 163

E.163. În patrulaterul convex ABCDABCD se notează cu EE și FF mijloacele segmentelor ACAC, respectiv BDBD. Dacă EF∥CDEF \parallel CD, atunci arătați că ABCDABCD este trapez.

Art, 38/94, ***
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: Prelungim EFEF astfel încât EF∩BC={G}.EF \cap BC = \{G\}.

Indicația 2: Arătăm că ABAB și DCDC sunt paralele cu sunt paralele cu dreapta care trece prin EE, FF și GG.

Soluție:

Prelungim EFEF astfel încât EF∩BC={G}.EF \cap BC = \{G\}.
EF∥DC⇒FG∥DCEF \parallel DC \Rightarrow \boxed{FG \parallel DC} și EG∥DC(1).\boxed{EG \parallel DC} \quad (1).
Din DF=FBDF = FB și FG∥DCFG \parallel DC rezultă CG=GB.\boxed{CG=GB}.
Din CE=EACE=EA și CG=GBCG=GB rezultă EGEG - linie mijlocie, deci EG∥AB(2).\boxed{EG \parallel AB} \quad (2).

Din (1) și (2) ⇒AB∥DC\Rightarrow AB \parallel DC, adică ABCDABCD trapez.