Exercițiul 159

E.159. Să se demonstreze că într-un trapez, segmentul determinat de intersecțiile diagonalelor cu linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu semidiferența lungimilor bazelor.

Art, Teorema 4, pag.91
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Segmentul cerut se scrie ca diferența a doua linii mijlocii în triunghi.

Soluție:

MNMN - linie mijlocie ⇒MN\Rightarrow MN este paralelă cu bazele, deci și MPMP, PQPQ și QNQN vor fi paralele cu bazele.
În △ABD\triangle ABD, DM≡MADM\equiv MA, MQ∥AB⇒DQ≡QBMQ \parallel AB \Rightarrow DQ \equiv QB. Așadar MQMQ este linie mijlocie, deci MQ=AB2.\boxed{MQ=\dfrac{AB}{2}}.
Analog, MPMP este linie mijlocie în ACDACD, deci MP=DC2.\boxed{MP=\dfrac{DC}{2}}.

Deci PQ=MQ−MPPQ=MQ-MP, adică PQ=AB−DC2.\boxed{PQ=\dfrac{AB-DC}{2}}.