Exercițiul 162

E.162. În trapezul ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD, AB>CDAB>CD), diagonalele ACAC și BDBD sunt perpendiculare. Știind că ∡CAB=60°\measuredangle CAB=60\degree, AC=6AC=6 cm și AO=2⋅OCAO=2 \cdot OC, unde OO este punctul de intersecția al diagonalelor, calculați lungimea bazelor trapezului.

Art, 36/94, ***
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Se aplică de două ori T30 (teorema unghiului de 30°30\degree).

Răspuns: AB=8AB=8 cm, CD=4CD=4 cm.

Soluție:

Din AO+OC=6AO+OC=6 și AO=2⋅OCAO=2 \cdot OC rezultă AO=4\boxed{AO=4} și OC=2\boxed{OC=2}.

∡CAB=60°⇒∡ABO=30°\measuredangle CAB=60\degree \Rightarrow \measuredangle ABO = 30\degree și ∡CDO=30°\measuredangle CDO = 30 \degree.

În △ABO\triangle ABO cu ∡O=90°⇒T30AB=2AO\measuredangle O=90\degree \overset{T30}{\Rightarrow} AB=2AO, deci AB=8\boxed{AB=8}.
În △CDO\triangle CDO cu ∡O=90°⇒T30DC=2OC\measuredangle O=90\degree \overset{T30}{\Rightarrow} DC=2OC, deci CD=4\boxed{CD=4}.