Puncte, drepte, plane

Puncte, drepte, plane

Nivel introductiv

E.329. Trapezul ABCDABCD are latura neparalelă ADAD inclusă în planul α.\alpha. Dreapta CBCB intersectează planul α\alpha în punctul E.E. Arătați că punctele E,A,DE,A,D sunt coliniare.

Art, 32/102, ***
Soluție
Soluție:

E.325. Fie planul α\alpha și triunghiul ABCABC cu A∈α, B∉α,C∉α,A \in \alpha,~ B \not \in \alpha, C \not \in \alpha, iar BC∩α={D}.BC \cap \alpha = \{D\}. Dacă MM este mijlocul segmentului AC,AC, iar BMBM intersectează planul α\alpha în punctul E,E, arătați că punctele A, DA,~D și EE sunt coliniare.

Art, 28/102, ***
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Punctele A, DA,~D și EE aparțin dreptei de intersecție a planelor ABCABC și α.\alpha.

Soluție:

Cum planele (ABC)(ABC) și α\alpha au un punct comun, înseamnă că au și o dreaptă comună. Fie (ABC)∩α=d.(ABC) \cap \alpha = d.

BM⊂(ABC), E∈BM⇒E∈(ABC)E∈α}⇒E∈d. \begin{rcases} BM \subset (ABC),~E \in BM \Rightarrow E \in (ABC) \\ E \in \alpha \end{rcases} \Rightarrow \boxed{E \in d}.

BC⊂(ABC), D∈BC⇒D∈(ABC)D∈α}⇒D∈d. \begin{rcases} BC \subset (ABC),~D \in BC \Rightarrow D \in (ABC) \\ D \in \alpha \end{rcases} \Rightarrow \boxed{D \in d}.
A∈(ABC)A∈α}⇒A∈d. \begin{rcases} A \in (ABC) \\ A \in \alpha \end{rcases} \Rightarrow \boxed{A \in d}.

Deci A,D,EA,D,E sunt coliniare.

E.326. Fie punctele O, X, YO,~X,~Y și ZZ astfel încât semidreptele OX, OYOX,~OY și OZOZ să formeze unghiuri cu măsurile XOY^=95°, YOZ^=108°\widehat{XOY}=95\degree,~ \widehat{YOZ}=108\degree și ZOX^=126°.\widehat{ZOX}=126\degree. Arătați că punctele O, X, YO,~X,~Y și ZZ sunt necoplanare.

Art, 29/102, ***
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Reducere la absurd.

Soluție:

Presupunem, prin absurd, că punctele O,X,Y,ZO,X,Y,Z sunt coplanare.
În acest caz, XOY^+YOZ^+ZOX^=95+108+126=329°,\widehat{XOY}+\widehat{YOZ}+\widehat{ZOX} = 95+108+126=329\degree, în contradicție cu suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct (360°).360\degree).
Prin urmare, presupunerea făcută este falsă. Așadar, O,X,Y,ZO,X,Y,Z nu sunt coplanare.

E.327. Fie punctele A, B, CA,~B,~C astfel încât AB=1AB=1 cm, BC=15BC=\sqrt{15} cm și AC=3+5AC=\sqrt{3}+\sqrt{5} cm. Arătați că punctele A, BA,~B și CC determină un plan.

Art, 30/102, ***
Indicații (1)

Indicații: Se arată că punctele A, B, CA,~B,~C sunt necoliniare.

E.328. Fie punctele A, B, CA,~B,~C astfel încât AB=2AB=2 cm, BC=3BC=3 cm și AC=∣x−2∣AC=|x-2| cm. Aflați valorile lui x∈Rx \in \R pentru care punctele A, B, CA,~B,~C nu determină un plan.

Art, 31/102, ***
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Se pune condiția ca A, B, CA,~B,~C să fie coliniare.

Răspuns: x∈{−3,1,3,7}.x \in \{ -3, 1, 3, 7\}.

Soluție:

Punem condiția ca cele 33 puncte să fie coliniare. Avem cazurile:

  • ∣x−2∣=2+3⇒x−2∈{−5,5}⇒x∈{−3,7}.|x-2| = 2+3 \Rightarrow x-2 \in \{-5, 5\} \Rightarrow \boxed{x \in \{ -3, 7\}}.
  • 3=∣x−2∣+2⇒x−2∈{−1,1}⇒x∈{1,3}.3=|x-2| +2 \Rightarrow x-2 \in \{-1, 1\} \Rightarrow \boxed{x \in \{1, 3\}}.

Răspuns: x∈{−3,1,3,7}.\boxed{x \in \{ -3, 1, 3, 7\}}.

E.330. Fie punctele necoplanare A,B,C,DA,B,C,D și M∈[AB], N∈[CD].M\in [AB],~ N \in [CD]. Aflați intersecția planelor (NAB)(NAB) și (MDC).(MDC).

Art, 33/102, ***
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Se determină două puncte comune planelor (NAB)(NAB) și (MDC)(MDC).

Soluție:

E.331. Fie punctele A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F unde EE este mijlocul segmentului ADAD și FF este mijlocul segmentului BC.BC. Dacă EF=AB+CD2,EF=\dfrac{AB+CD}{2}, arătați că punctele A,B,C,DA,B,C,D sunt coplanare.

Art, 38/103, ****
Indicații (3) | Soluție

Indicația 1: Se arată că AB∥CD.AB \parallel CD.

Indicația 2: EOEO și OFOF sunt linii mijlocii, unde OO este mijlocul lui AC.AC.

Indicația 3: Se arată că E,O,FE,O,F sunt coliniare.

Soluție:

E.332. Fie pătratele ABCDABCD și CDEFCDEF situate în plane diferite.
a) Determinați dreapta de intersecția a planelor (ACE)(ACE) și (BDF).(BDF).
b) Arătați că triunghiurile ADEADE și BCFBCF sunt congruente.

Art, 39/103, ****
Indicații (2) | Soluție

Indicația 1: a) Ambele plane trec prin centrele celor două pătrate.

Indicația 2: b) Se demonstrează că ABFEABFE este paralelogram.

Soluție:

Nume CreatLa (UTC)
Tema4: Puncte, drepte, plane 14-10-2024 09:09