Exercițiul 325

E.325. Fie planul α\alpha și triunghiul ABCABC cu A∈α, B∉α,C∉α,A \in \alpha,~ B \not \in \alpha, C \not \in \alpha, iar BC∩α={D}.BC \cap \alpha = \{D\}. Dacă MM este mijlocul segmentului AC,AC, iar BMBM intersectează planul α\alpha în punctul E,E, arătați că punctele A, DA,~D și EE sunt coliniare.

Art, 28/102, ***
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Punctele A, DA,~D și EE aparțin dreptei de intersecție a planelor ABCABC și α.\alpha.

Soluție:

Cum planele (ABC)(ABC) și α\alpha au un punct comun, înseamnă că au și o dreaptă comună. Fie (ABC)∩α=d.(ABC) \cap \alpha = d.

BM⊂(ABC), E∈BM⇒E∈(ABC)E∈α}⇒E∈d. \begin{rcases} BM \subset (ABC),~E \in BM \Rightarrow E \in (ABC) \\ E \in \alpha \end{rcases} \Rightarrow \boxed{E \in d}.

BC⊂(ABC), D∈BC⇒D∈(ABC)D∈α}⇒D∈d. \begin{rcases} BC \subset (ABC),~D \in BC \Rightarrow D \in (ABC) \\ D \in \alpha \end{rcases} \Rightarrow \boxed{D \in d}.
A∈(ABC)A∈α}⇒A∈d. \begin{rcases} A \in (ABC) \\ A \in \alpha \end{rcases} \Rightarrow \boxed{A \in d}.

Deci A,D,EA,D,E sunt coliniare.