Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Ne reamintim (clasa a 6-a):

  • Prin raportul numerelor raționale pozitive aa și b,b, cu b≠0,b \not=0, se înțelege numărul rational a:b,a:b, notat ab.\dfrac{a}{b}. Scrierea ab\dfrac{a}{b} este raportul, iar aa și bb sunt termenii raportului.
  • Valoarea unui raport ab\dfrac{a}{b} este numărul cc care se obține din relația c=a:b.c=a:b.
  • Egalitatea a două rapoarte se numește proporție. Dacă rapoartele ab\dfrac{a}{b} și cd\dfrac{c}{d} au aceeași valoare, ele formează proporția ab=cd,\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}, iar numerele a,b,c,da,b,c,d se numesc termenii proporției.
  • Mai multe rapoarte care au aceeași valoare formează un șir de rapoarte egale: a1b1=a2b2=…=anbn.\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2}=\ldots=\dfrac{a_n}{b_n}.
  • Numerele a1,a2,…,an,a_1, a_2,\ldots,a_n, cu n∈N, n≥2,n \in \N,~n\geq2, sunt respectiv proporționale cu numerele b1,b2,…,nn,b_1, b_2,\ldots,n_n, dacă se poate forma șirul de rapoarte egale a1b1=a2b2=…=anbn=k,\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2}=\ldots=\dfrac{a_n}{b_n}=k, unde kk se numește factor (sau coeficient, sau raport) de proporționalitate.

Segmente proporționale

  • Raportul a două segmente este raportul lungimiloor lor, exprimate cu aceeași unitate de măsură.
    • Exemplu: AB=35AB=35 cm, CD=1,4CD=1,4 dm ⇒ABCD=35 cm14 cm=52.\Rightarrow \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{35~cm}{14~cm}=\dfrac{5}{2}.
  • Patru segmente se numesc proporționale dacă lungimile lor reprezintă termenii unei proporții.
    • Exemplu: AB=8AB=8 cm, BC=4BC=4 cm, CD=0,5CD=0,5 cm, DE=1DE=1 cm. Cum ABBC=DECD,\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{CD}, segmentele date sunt proporționale.
    • Observație: noțiunea de "segmente proporționale" are sens doar pentru 44 segmente.
  • Spunem că segmentele A1B1,A2B2,…,AnBnA_1B_1,A_2B_2, \ldots,A_nB_n sunt proporționale cu segmentele C1D1,C2D2,…,CnDn,C_1D_1,C_2D_2, \ldots,C_nD_n, dacă A1B1C1D1=A2B2C2D2=…=AnBnCnDn=k,\dfrac{A_1B_1}{C_1D_1}=\dfrac{A_2B_2}{C_2D_2}=\ldots=\dfrac{A_nB_n}{C_nD_n}=k, unde kk se numește factor (sau coeficient, sau raport) de proporționalitate.

Teorema paralelelor echidistante

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.

Nivel introductiv

E.748. Fie punctele MM și NN situate pe segmentul AB,AB, astfel încât AMMB=25\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{2}{5} și ANAB=37.\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{3}{7}. Determinați AMAN.\dfrac{AM}{AN}.

Art, 7/59, *
Soluție
Soluție:

Met. grafică

E.749. Fie segmentul ABAB de lungime 4545 cm și MM aparține dreptei AB.AB. Calculați lungimile AMAM și MBMB știind că AMMB=27.\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{2}{7}.

Art, 18/59, **

E.750. Laturile unui triunghi sunt proporționale cu numerele 2,52,5 și 4.4. Calculați perimetrul triunghiului știind că cea mai mare latură are 1515 cm.

Art, 14/59, **

E.751. În triunghiul ABC,ABC, segmentul AMAM este mediană, M∈BC.M \in BC. Perpendiculara în AA pe AMAM intersectează paralelele prin BB și CC la AMAM în punctele NN și P.P. Demonstrați că AN=AP.AN=AP.

Art, 21/60, ***

E.752. În triunghiul ABC,ABC, segmentele BMBM și CNCN sunt mediane, M∈AC, N∈AB,M\in AC,~N \in AB, iar BM∩CN={G}.BM \cap CN =\{G\}. Dacă PP și QQ sunt mijloacele segmentelor BG,BG, respectiv CG,CG, arătați că MNPQMNPQ este paralelogram.

Art, 23/60, ****