Cardinalul unei mulțimi

Cardinalul unei mulțimi

Numărul de elemente ale unei mulțimi AA se numește cardinalul mulțimii și se notează card Acard~A.

Exemplu: A={2,4,6}⇒card A=3A=\{2,4,6\} \Rightarrow card~A=3.

Fie AA o mulțime oarecare de numere consecutive: A={a1, a2, a3 ,⋯ , an}A=\{a_1,~ a_2,~ a_3~, \cdots,~ a_n\}. În acest caz, card A=(an−a1)+1\boxed{card~A = (a_n-a_1)+1}.

Exemplu: A={3,4,5,6,7,8}⇒A=\{3, 4, 5,6, 7, 8\} \Rightarrow card A=(8−3)+1=6card~A=(8-3)+1 = 6.

Pentru numerele care nu sunt consecutive, vom folosi metoda contorului (pentru a reduce problema la numere consecutive).

Exemplu: A={2, 5, 8, 11,⋯ ,302}A=\{2,~5,~8,~11, \cdots, 302 \}. Observăm că numerele merg din 3 în 3, deci vom scrie
A={3⋅0+2, 3⋅1+2, 3⋅2+2,⋯ ,3⋅100+2}A=\{3\cdot 0+2,~3\cdot 1+2, ~3\cdot 2+2,\cdots, 3\cdot 100+2\}. În acest caz, contorul (adică elementul care se modifică) observăm că începe cu 00 și continuă, cu numere consecutive, până la 100100. Prin urmare, numărul de elemente al mulțimii AA va fi dat chiar de acel contor, adică card A=(100−0)+1=101card~A=(100-0)+1 = 101.

Nivel introductiv

E.125. Aflați numărul elementelor mulțimilor AA și BB, dacă A={x∈N∣6<x≤2020}A=\{x\in \N \mid 6 < x \leq 2020\} și B={x∈N∣22015<x≤22020}B=\{x\in \N \mid 2^{2015}<x\leq 2^{2020} \}.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: Card A=2014Card~A=2014, Card B=31⋅22015\quad Card~B=31 \cdot 2^{2015}

Soluție:

A={7,8,9,⋯ ,2020}⇒card A=(2020−7)+1A=\{7, 8, 9, \cdots, 2020\} \Rightarrow card~A=(2020-7)+1. Deci card A=2014\boxed{card~A=2014}.

card B=22020−(22015+1)+1=22020−22015=22015(25−1)card~B=2^{2020} - (2^{2015}+1)+1 = 2^{2020}-2^{2015}=2^{2015}(2^5-1). Deci card B=31⋅22015\boxed{card~B=31 \cdot 2^{2015}}.

E.127. Determinați cardinalul mulțimii A={ab‾ ∣ 16a2+b∈N}A=\bigg\{ \overline{ab} ~ \bigg | ~ \dfrac{16}{a^2+b} \in \N \bigg\}.

Olimpiadă, etapa locală, Satu Mare, 2020
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: 16a2+b∈N⇒a2+b∈{1,2,4,8,16}\dfrac{16}{a^2+b} \in \N \Rightarrow a^2+b \in \{1, 2, 4, 8, 16\}.

Răspuns: card(A)=8card(A)=8.

Soluție:

16a2+b∈N⇒a2+b∈{1,2,4,8,16}\dfrac{16}{a^2+b} \in \N \Rightarrow a^2+b \in \{1, 2, 4, 8, 16\}.

∙a2+b=1⇒ab‾∈{10}\bullet \quad a^2+b = 1 \Rightarrow \overline{ab} \in \{10 \};

∙a2+b=2⇒ab‾∈{11}\bullet \quad a^2+b = 2 \Rightarrow \overline{ab} \in \{11 \};

∙a2+b=4⇒ab‾∈{13,20}\bullet \quad a^2+b = 4 \Rightarrow \overline{ab} \in \{13, 20 \};

∙a2+b=8⇒ab‾∈{17,24}\bullet \quad a^2+b = 8 \Rightarrow \overline{ab} \in \{17, 24 \};

∙a2+b=16⇒ab‾∈{37,40}\bullet \quad a^2+b = 16 \Rightarrow \overline{ab} \in \{37, 40 \};

Deci A={10,11,13,20,17,24,37,40}⇒card A=8A=\{10, 11, 13, 20, 17, 24, 37, 40\} \Rightarrow \boxed{card~A=8}.

E.136. Să se determine cardinalul mulțimii A={(a, b) ∣ ab‾+ba‾A=\{(a,~b) ~|~ \overline{ab} + \overline{ba} este pătrat perfect}\}.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2012
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: ab‾=a⋅10+b\overline{ab} = a \cdot 10 + b

Indicația 2: a+ba+b trebuie să fie multiplu de 1111.

Răspuns: Card A=8Card~A=8.

Soluție:

ab‾+ba‾=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)\overline{ab} + \overline{ba} = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b).
11(a+b)11(a+b) este pătrat perfect ⇒(a+b)=M11\Rightarrow (a+b)=M_{11}.
Cum aa și bb sunt cifre ⇒a+b=11\Rightarrow a+b=11, deci A={(2 9), (3,8), ⋯ , (9, 2)}A=\{(2~9),~ (3,8),~ \cdots,~(9,~2)\}.
În total sunt (9−2)+1(9-2)+1 perechi, deci Card A=8\boxed{Card~ A = 8}.

E.126. Fie a=(311)3:915−(24)15:820a=\big(3^{11}\big)^3:9^{15} - \big(2^4\big)^{15}:8^{20}. Determinați numărul elementelor mulțimii: A={x∈N∣3≤x≤a}A=\{x \in \N \mid 3 \leq x \leq a\}.

Viola-Eva Markus, Olimpiadă, etapa locală, Sălaj, 2020
Răspuns

Răspuns: card(A)=24card(A)=24.

E.128. Fie A={n∈N ∣ 236<n<324}A=\{n \in \N ~\big|~ 2^{36} < n < 3^{24} \} și B={n∈N ∣ 248<n<332}B=\{n \in \N ~\big |~ 2^{48} < n < 3^{32} \}. Care din mulțimile AA și BB au cardinalul mai mare?

Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2020
Indicații (3) | Răspuns

Indicația 1: Arătăm că 332−248>324−2363^{32}-2^{48} > 3^{24} - 2^{36}.

Indicația 2: Echivalent cu 324(38−1)>236(212−1)3^{24}(3^8-1) > 2^{36}(2^{12}-1).

Indicația 3: Comparăm membru cu membru: 324>2363^{24} > 2^{36} și 38>2123^8 > 2^{12}.

Răspuns: card(B)>card(A)card(B) > card(A).