Exercițiul 136

E.136. Să se determine cardinalul mulțimii A={(a, b) ∣ ab‾+ba‾A=\{(a,~b) ~|~ \overline{ab} + \overline{ba} este pătrat perfect}\}.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2012
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: ab‾=a⋅10+b\overline{ab} = a \cdot 10 + b

Indicația 2: a+ba+b trebuie să fie multiplu de 1111.

Răspuns: Card A=8Card~A=8.

Soluție:

ab‾+ba‾=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)\overline{ab} + \overline{ba} = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b).
11(a+b)11(a+b) este pătrat perfect ⇒(a+b)=M11\Rightarrow (a+b)=M_{11}.
Cum aa și bb sunt cifre ⇒a+b=11\Rightarrow a+b=11, deci A={(2 9), (3,8), ⋯ , (9, 2)}A=\{(2~9),~ (3,8),~ \cdots,~(9,~2)\}.
În total sunt (9−2)+1(9-2)+1 perechi, deci Card A=8\boxed{Card~ A = 8}.