Exerciții diverse

Exerciții diverse

Nivel introductiv

E.83. Fie aa, bb, c∈N∗c \in \N^* astfel încât 2a+3b3a+2b=1817\dfrac{2a+3b}{3a+2b} = \dfrac{18}{17} și b+2c2b+c=1413.\dfrac{b+2c}{2b+c} = \dfrac{14}{13}.
a) Demonstrați că a2+b2=c2.a^2+b^2=c^2.
b) Dacă în plus a⋅b⋅c=480a \cdot b \cdot c = 480, determinați cele trei numere.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedoara, 2019
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) Din cele două relații din ipoteză se extrage aa și cc în funcție de bb. Vom obține a=3b4a=\dfrac{3b}{4} și c=5b4.c=\dfrac{5b}{4}. Cu rezultatele obținute se verifică egalitatea cerută.

Indicația 2: b) Valorile lui aa și cc obținute la punctul a) se inlocuiesc în egalitatea a⋅b⋅c=480a \cdot b \cdot c = 480 și se determină valoarea lui bb. Vom obține b=8b=8.

Răspuns: b) a=6a=6, b=8b=8, c=10.c=10.

Soluție:

a) Reducem numărul de variabile:

2a+3b3a+2b=1817⇒34a+51b=54a+36b⇒15b=20a⇒a=3b4\dfrac{2a+3b}{3a+2b} = \dfrac{18}{17} \textcolor{red}{\Rightarrow} 34a+51b = 54a+36b \textcolor{red}{\Rightarrow} 15b=20a \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a=\dfrac{3b}{4}}

b+2c2b+c=1413⇒13b+26c=28b+14c⇒15b=12c⇒c=5b4\dfrac{b+2c}{2b+c} = \dfrac{14}{13} \textcolor{red}{\Rightarrow} 13b+26c=28b+14c \textcolor{red}{\Rightarrow} 15b=12c \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{c=\dfrac{5b}{4}}

Înlocuim aa și cc în egalitatea cerută:

9b216+b2=25b216⇒9b2+16b216=25b216\dfrac{9b^2}{16} + b^2 = \dfrac{25b^2}{16} \textcolor{red}{\Rightarrow} \dfrac{9b^2 + 16b^2}{16} = \dfrac{25b^2}{16} (adevărat).

b) Înlocuim aa și cc în egalitatea dată:

3b4⋅b⋅5b4=3⋅4⋅5⋅8⏟480⇒b3=43⋅23⇒b=8\dfrac{\cancel{3}b}{4} \cdot b \cdot \dfrac{\cancel{5}b}{4} = \underbrace{\cancel{3} \cdot 4 \cdot \cancel{5} \cdot 8}_{480} \textcolor{red}{\Rightarrow} b^3 = 4^3 \cdot 2^3 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{b=8}

Înlocuind pe bb în (1) și (2) obținem: a=6\boxed{a=6}, c=10.\boxed{c=10}.

E.84. Fie aa, bb și cc numere raționale nenule, astfel încât oricare două sunt diferite între ele. Știind că c=a+b,c=a+b, calculați: A=(a−bc+b−ca+c−ab)⋅(ca−b+ab−c+bc−a).A=\Big( \dfrac{a-b}{c} + \dfrac{b-c}{a} + \dfrac{c-a}{b} \Big) \cdot \Big( \dfrac{c}{a-b} + \dfrac{a}{b-c} + \dfrac{b}{c-a} \Big).

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2016
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Înlocuim în expresia AA pe cc cu a+ba+b și facem simplificările.

Răspuns: A=1.A=1.

Soluție:

Folosim condiția din enunț pentru a reduce numărul de variabile:

A=(a−ba+b+b−a−ba+a+b−ab)⋅(a+ba−b+ab−a−b+ba+b−a)=A=\Big( \dfrac{a-b}{a+b} + \dfrac{b-a-b}{a} + \dfrac{a+b-a}{b} \Big) \cdot \Big( \dfrac{a+b}{a-b} + \dfrac{a}{b-a-b} + \dfrac{b}{a+b-a} \Big)=

=(a−ba+b−1+1)⋅(a+ba−b−1+1)=1.=\Big( \dfrac{a-b}{a+b} - 1 + 1 \Big) \cdot \Big( \dfrac{a+b}{a-b} - 1 + 1 \Big)=1.

Obs.1: Condiția "aa, bb, cc nenule" ne-a permis să simplificăm fracțiile cu aa, respectiv b.b.

Obs.2: Condiția "oricare două sunt diferite între ele" ne-a permis să simplificăm fracțiile între ele cu a−ba-b, respectiv a+b.a+b.

E.85. Numerele aa și bb satisfac egalitatea: 5aa+b+4ba−b=5.\dfrac{5a}{a+b} + \dfrac{4b}{a-b} = 5. Găsiți toate valorile posibile ale expresiei A=7a−9ba+9b.A=\dfrac{7a-9b}{a+9b}.

Olimpiadă, etapa locală, Maramureș, 2017
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Aducând la același numitor și simplificănd, relația din ipoteză devine: b(9b−a)=0.b(9b-a)=0.

Indicația 2: Tratăm cazurile b=0b=0 și a=9b.a=9b.

Răspuns: A∈{3,7}A \in \{3, 7\}

Soluție:

Simplificăm relația din ipoteză:

5a(a−b)+4b(a+b)(a+b)(a−b)=5\dfrac{5a(a-b) + 4b(a+b)}{(a+b)(a-b)} = 5

5a2−5ab+4ab+4b2=5a2−5b2\cancel{5a^2}-5ab+4ab+4b^2 = \cancel{5a^2} - 5b^2
9b2−ab=09b^2-ab=0
b(9b−a)=0b(9b-a)=0

Caz 1\bold{Caz \space 1}: b=0⇒A=7a−0a+0⇒A=7b=0 \textcolor{red}{\Rightarrow} A=\dfrac{7\cancel{a}-0}{\cancel{a}+0} \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{A= 7}
Obs: Situația b=0,a=0b=0, a=0 nu convine (nu satisface ipoteza), prin urmare am putut simplifica cu a≠0.a \not= 0.

Caz 2\bold{Caz \space 2}: a=9b⇒A=7⋅9b−9b9b+9b=6⋅9b2⋅9b⇒A=3a=9b \textcolor{red}{\Rightarrow} A=\dfrac{7\cdot 9b-9b}{9b+9b} = \dfrac{6 \cdot \cancel{9b}}{2 \cdot \cancel{9b}} \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{A= 3}
Obs: Situația b=0b=0 am tratat-o la cazul precedent, prin urmare am putut simplifica cu b≠0.b \not= 0.

E.86. Determinați numerele aa, bb și cc care verifică simultan condițiile:
i) media aritmetică a numerelor a,b,ca, b, c este (−1)100⋅(−3)3⋅(16)−1;(-1)^{100} \cdot (-3)^3 \cdot \Big(\dfrac{1}{6} \Big)^{-1};
ii) 7a−2b8b+5a=25;\dfrac{7a-2b}{8b+5a} = \dfrac{2}{5};
iii) numerele bb și cc sunt invers proporționale cu 0,040,04 și 0,(3).0,(3).

Olimpiadă, etapa locală, Covasna, 2019
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Cele 3 condiții generează un sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute:
i) ⇒a+b+c=(−162)⋅3\textcolor{red}{\Rightarrow} a+b+c = (-162)\cdot 3
ii) ⇒25a=25b\textcolor{red}{\Rightarrow} 25a=25b
iii) ⇒25c=3b.\textcolor{red}{\Rightarrow} 25c=3b.

Indicația 2: Din ii) și iii) se extrag aa și cc în funcție de bb și se înlocuiesc în i). Se obține astfel b=−225.b=-225.

Răspuns: a=−234,b=−225,c=−27.a=-234, b=-225, c=-27.

Soluție:

Analizăm, pe rând, cele trei condiții:
i) a+b+c3=1⋅(−27)⋅6⇒a+b+c=(−162)⋅3 (1)\dfrac{a+b+c}{3} = 1 \cdot (-27) \cdot 6 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a+b+c = (-162) \cdot 3} \nobreakspace \textcolor{red}{(1)}

ii) 35a−10b=16b+10a⇒25a=26b⇒a=26b25 (2)35a-10b=16b+10a \textcolor{red}{\Rightarrow} 25a=26b \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a=\dfrac{26b}{25}} \nobreakspace \textcolor{red}{(2)}

iii) bb i.p. cu 4100⇒b=k4100=25k\dfrac{4}{100} \textcolor{red}{\Rightarrow} b=\dfrac{k}{\frac{4}{100}} = 25k

iii) cc i.p. cu 39⇒c=k39=3k\dfrac{3}{9} \textcolor{red}{\Rightarrow} c=\dfrac{k}{\frac{3}{9}} =3k
Din ultimele două relații ⇒k=b25=c3⇒c=3b25 (3)\textcolor{red}{\Rightarrow} k= \dfrac{b}{25} = \dfrac{c}{3} \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{c=\dfrac{3b}{25}} \nobreakspace \textcolor{red}{(3)}

Înlocuim (1)(1) și (2)(2) în (3)(3):

26b25+b+3b25=(−162)⋅3\dfrac{26b}{25} + b + \dfrac{3b}{25} = (-162) \cdot 3

26b+25b+3b=(−162)⋅3⋅25⇒b=−22526b+25b+3b=(-162)\cdot 3 \cdot 25 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{b=-225}

Înlocuind pe bb în (2) și (3) obținem: a=−234\boxed{a=-234} și c=−27\boxed{c=-27}