Exercițiul 86

E.86. Determinați numerele aa, bb și cc care verifică simultan condițiile:
i) media aritmetică a numerelor a,b,ca, b, c este (−1)100⋅(−3)3⋅(16)−1;(-1)^{100} \cdot (-3)^3 \cdot \Big(\dfrac{1}{6} \Big)^{-1};
ii) 7a−2b8b+5a=25;\dfrac{7a-2b}{8b+5a} = \dfrac{2}{5};
iii) numerele bb și cc sunt invers proporționale cu 0,040,04 și 0,(3).0,(3).

Olimpiadă, etapa locală, Covasna, 2019
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Cele 3 condiții generează un sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute:
i) ⇒a+b+c=(−162)⋅3\textcolor{red}{\Rightarrow} a+b+c = (-162)\cdot 3
ii) ⇒25a=25b\textcolor{red}{\Rightarrow} 25a=25b
iii) ⇒25c=3b.\textcolor{red}{\Rightarrow} 25c=3b.

Indicația 2: Din ii) și iii) se extrag aa și cc în funcție de bb și se înlocuiesc în i). Se obține astfel b=−225.b=-225.

Răspuns: a=−234,b=−225,c=−27.a=-234, b=-225, c=-27.

Soluție:

Analizăm, pe rând, cele trei condiții:
i) a+b+c3=1⋅(−27)⋅6⇒a+b+c=(−162)⋅3 (1)\dfrac{a+b+c}{3} = 1 \cdot (-27) \cdot 6 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a+b+c = (-162) \cdot 3} \nobreakspace \textcolor{red}{(1)}

ii) 35a−10b=16b+10a⇒25a=26b⇒a=26b25 (2)35a-10b=16b+10a \textcolor{red}{\Rightarrow} 25a=26b \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a=\dfrac{26b}{25}} \nobreakspace \textcolor{red}{(2)}

iii) bb i.p. cu 4100⇒b=k4100=25k\dfrac{4}{100} \textcolor{red}{\Rightarrow} b=\dfrac{k}{\frac{4}{100}} = 25k

iii) cc i.p. cu 39⇒c=k39=3k\dfrac{3}{9} \textcolor{red}{\Rightarrow} c=\dfrac{k}{\frac{3}{9}} =3k
Din ultimele două relații ⇒k=b25=c3⇒c=3b25 (3)\textcolor{red}{\Rightarrow} k= \dfrac{b}{25} = \dfrac{c}{3} \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{c=\dfrac{3b}{25}} \nobreakspace \textcolor{red}{(3)}

Înlocuim (1)(1) și (2)(2) în (3)(3):

26b25+b+3b25=(−162)⋅3\dfrac{26b}{25} + b + \dfrac{3b}{25} = (-162) \cdot 3

26b+25b+3b=(−162)⋅3⋅25⇒b=−22526b+25b+3b=(-162)\cdot 3 \cdot 25 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{b=-225}

Înlocuind pe bb în (2) și (3) obținem: a=−234\boxed{a=-234} și c=−27\boxed{c=-27}