Exercițiul 84

E.84. Fie aa, bb și cc numere raționale nenule, astfel încât oricare două sunt diferite între ele. Știind că c=a+b,c=a+b, calculați: A=(a−bc+b−ca+c−ab)⋅(ca−b+ab−c+bc−a).A=\Big( \dfrac{a-b}{c} + \dfrac{b-c}{a} + \dfrac{c-a}{b} \Big) \cdot \Big( \dfrac{c}{a-b} + \dfrac{a}{b-c} + \dfrac{b}{c-a} \Big).

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2016
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Înlocuim în expresia AA pe cc cu a+ba+b și facem simplificările.

Răspuns: A=1.A=1.

Soluție:

Folosim condiția din enunț pentru a reduce numărul de variabile:

A=(a−ba+b+b−a−ba+a+b−ab)⋅(a+ba−b+ab−a−b+ba+b−a)=A=\Big( \dfrac{a-b}{a+b} + \dfrac{b-a-b}{a} + \dfrac{a+b-a}{b} \Big) \cdot \Big( \dfrac{a+b}{a-b} + \dfrac{a}{b-a-b} + \dfrac{b}{a+b-a} \Big)=

=(a−ba+b−1+1)⋅(a+ba−b−1+1)=1.=\Big( \dfrac{a-b}{a+b} - 1 + 1 \Big) \cdot \Big( \dfrac{a+b}{a-b} - 1 + 1 \Big)=1.

Obs.1: Condiția "aa, bb, cc nenule" ne-a permis să simplificăm fracțiile cu aa, respectiv b.b.

Obs.2: Condiția "oricare două sunt diferite între ele" ne-a permis să simplificăm fracțiile între ele cu a−ba-b, respectiv a+b.a+b.