Exercițiul 83

E.83. Fie aa, bb, c∈N∗c \in \N^* astfel încât 2a+3b3a+2b=1817\dfrac{2a+3b}{3a+2b} = \dfrac{18}{17} și b+2c2b+c=1413.\dfrac{b+2c}{2b+c} = \dfrac{14}{13}.
a) Demonstrați că a2+b2=c2.a^2+b^2=c^2.
b) Dacă în plus a⋅b⋅c=480a \cdot b \cdot c = 480, determinați cele trei numere.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedoara, 2019
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: a) Din cele două relații din ipoteză se extrage aa și cc în funcție de bb. Vom obține a=3b4a=\dfrac{3b}{4} și c=5b4.c=\dfrac{5b}{4}. Cu rezultatele obținute se verifică egalitatea cerută.

Indicația 2: b) Valorile lui aa și cc obținute la punctul a) se inlocuiesc în egalitatea a⋅b⋅c=480a \cdot b \cdot c = 480 și se determină valoarea lui bb. Vom obține b=8b=8.

Răspuns: b) a=6a=6, b=8b=8, c=10.c=10.

Soluție:

a) Reducem numărul de variabile:

2a+3b3a+2b=1817⇒34a+51b=54a+36b⇒15b=20a⇒a=3b4\dfrac{2a+3b}{3a+2b} = \dfrac{18}{17} \textcolor{red}{\Rightarrow} 34a+51b = 54a+36b \textcolor{red}{\Rightarrow} 15b=20a \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{a=\dfrac{3b}{4}}

b+2c2b+c=1413⇒13b+26c=28b+14c⇒15b=12c⇒c=5b4\dfrac{b+2c}{2b+c} = \dfrac{14}{13} \textcolor{red}{\Rightarrow} 13b+26c=28b+14c \textcolor{red}{\Rightarrow} 15b=12c \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{c=\dfrac{5b}{4}}

Înlocuim aa și cc în egalitatea cerută:

9b216+b2=25b216⇒9b2+16b216=25b216\dfrac{9b^2}{16} + b^2 = \dfrac{25b^2}{16} \textcolor{red}{\Rightarrow} \dfrac{9b^2 + 16b^2}{16} = \dfrac{25b^2}{16} (adevărat).

b) Înlocuim aa și cc în egalitatea dată:

3b4⋅b⋅5b4=3⋅4⋅5⋅8⏟480⇒b3=43⋅23⇒b=8\dfrac{\cancel{3}b}{4} \cdot b \cdot \dfrac{\cancel{5}b}{4} = \underbrace{\cancel{3} \cdot 4 \cdot \cancel{5} \cdot 8}_{480} \textcolor{red}{\Rightarrow} b^3 = 4^3 \cdot 2^3 \textcolor{red}{\Rightarrow} \boxed{b=8}

Înlocuind pe bb în (1) și (2) obținem: a=6\boxed{a=6}, c=10.\boxed{c=10}.