$S=1+2+3+4+\ldots+2008 - 2(3+6+9+ \ldots+2007)=$
$=2008 \cdot 2009 : 2 + 2 \cdot 3(1+2+3+\ldots+669)=$
$=1004 \cdot 2009 + 3 \cdot 669 \cdot 670=$
$=2017036-1344690=672346.$

Metoda 2:
$S=(1+2-3)+(4+5-6) + \ldots + (2005+2006-2007) + 2008 =$
$=(3 + 6 + 9 + \ldots + 2004) + 2008=$
$=3(1+2+3+ \ldots + 668) + 2008=$
$=3 \cdot 668 \cdot 669 : 2 + 2008=672346.$

Deooarece $20=2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1,$ soluțiile problemei sunt:
$2, 10, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{8 de 1}}; \quad 4, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}};\quad 2, 2, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}}.$

Fie $\overline{ab}$ numărul inițial. Numărul nou este $\overline{ababab} = \overline{ab} \cdot 10000 + \overline{ab} \cdot 100 + \overline{ab} = \overline{ab} \cdot 10101.$
Deci numărul nou este de $10101$ ori mai mare decât cel inițial.

Metoda 2: Folosind algoritul de împărțire, avem $\overline{ababab}: \overline{ab} = 10101,$ rest $0$.

Notăm relația $a+b+c=31$ cu $A$ și relația $2a+3b+4c=105$ cu $B.$

• din $B-2A \Rightarrow b+2c=105-62=43;$
• din $B-3A \Rightarrow c-a=105-93=12;$
• din $4A-B \Rightarrow 2a+b=124-105=19$.

Deci $(b+2c)(c-a)(2a+b)=43 \cdot 12 \cdot 19 = 9904.$

Începând cu $5!$, toate numerele conțin factorii 2 și 5, deci au ultima cifră $0.$
$U_c(S) = U_c(1!)+U_c(2!)+U_c(3!)+U_c(4!)+U_c(5!)+\ldots +U_c(2008!)=$
$=U_c(1)+U_c(2)+U_c(6)+U_c(24)+0+\ldots +0=$
$=U_c(1+2+6+4) = 3.$

$\overline{abc} \cdot n = 2000 + \overline{abc}.$
$\overline{abc}(n-1)=2000.$

Cum $n$ este o cifră $\Rightarrow n-1 \leq 8.$
Mai mult, cum $2000$ conține în descompunerea sa doar cifrele $2$ și $5$ ($2000 = 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10),$ rezultă că pentru $n-1$ putem avea doar cazurile:

• $n-1=2 \Rightarrow n=3$ și $\overline{abc}=1000$ - nu convine;
• $n-1=4 \Rightarrow n=5$ și $\overline{abc}=500;$
• $n-1=5 \Rightarrow n=6$ și $\overline{abc}=400;$
• $n-1=8 \Rightarrow n=9$ și $\overline{abc}=250.$