Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

Tema 4

Lucian Maran, 13-10-2024

Problema 1. Calculați: 1+2−3+4+5−6+7+8−9+…+2005+2006−2007+2008.1+2-3+4+5-6+7+8-9+ \ldots + 2005+2006-2007+2008.

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2008, E.309
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 8/8.
Soluție:

S=1+2+3+4+…+2008−2(3+6+9+…+2007)=S=1+2+3+4+\ldots+2008 - 2(3+6+9+ \ldots+2007)=
=2008⋅2009:2+2⋅3(1+2+3+…+669)==2008 \cdot 2009 : 2 + 2 \cdot 3(1+2+3+\ldots+669)=
=1004⋅2009+3⋅669⋅670==1004 \cdot 2009 + 3 \cdot 669 \cdot 670=
=2017036−1344690=672346.=2017036-1344690=672346.

Metoda 2:
S=(1+2−3)+(4+5−6)+…+(2005+2006−2007)+2008=S=(1+2-3)+(4+5-6) + \ldots + (2005+2006-2007) + 2008 =
=(3+6+9+…+2004)+2008==(3 + 6 + 9 + \ldots + 2004) + 2008=
=3(1+2+3+…+668)+2008==3(1+2+3+ \ldots + 668) + 2008=
=3⋅668⋅669:2+2008=672346.=3 \cdot 668 \cdot 669 : 2 + 2008=672346.

Problema 2. Determinați numerele ale căror sumă și produs sunt, ambele, egale cu 20.20.

Art, Matematică pentru excelență, 1/10, E.314
Soluție:

Deooarece 20=2⋅10⋅1⋅…⋅1=4⋅5⋅1⋅…⋅1=2⋅2⋅5⋅1⋅…⋅1,20=2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1, soluțiile problemei sunt:
2,10,1,…,1⏟8 de 1;4,5,1,…,1⏟11 de 1;2,2,5,1,…,1⏟11 de 1.2, 10, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{8 de 1}}; \quad 4, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}};\quad 2, 2, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}}.

Problema 3. În dreapta unui număr natural de două cifre scriem de încă două ori acest număr. De câte ori este mai mare numărul astfel obținut decât cel inițial?

Art, Matematică pentru excelență, 3/10, E.316
Soluție:

Fie ab‾\overline{ab} numărul inițial. Numărul nou este ababab‾=ab‾⋅10000+ab‾⋅100+ab‾=ab‾⋅10101.\overline{ababab} = \overline{ab} \cdot 10000 + \overline{ab} \cdot 100 + \overline{ab} = \overline{ab} \cdot 10101.
Deci numărul nou este de 1010110101 ori mai mare decât cel inițial.

Metoda 2: Folosind algoritul de împărțire, avem ababab‾:ab‾=10101,\overline{ababab}: \overline{ab} = 10101, rest 00.

Problema 4. Calculați ultima cifră a sumei S=1!+2!+3!+…+2008!.S=1!+2!+3!+ \ldots + 2008!.

Olimpiadă, etapa locală, Satu-Mare, Natalia Danci, E.321
Soluție:

Începând cu 5!5!, toate numerele conțin factorii 2 și 5, deci au ultima cifră 0.0.
Uc(S)=Uc(1!)+Uc(2!)+Uc(3!)+Uc(4!)+Uc(5!)+…+Uc(2008!)=U_c(S) = U_c(1!)+U_c(2!)+U_c(3!)+U_c(4!)+U_c(5!)+\ldots +U_c(2008!)=
=Uc(1)+Uc(2)+Uc(6)+Uc(24)+0+…+0==U_c(1)+U_c(2)+U_c(6)+U_c(24)+0+\ldots +0=
=Uc(1+2+6+4)=3.=U_c(1+2+6+4) = 3.

Problema 5. Aflați cifrele a, b, c, na,~b,~c,~n știind că abc‾⋅n=2abc‾.\overline{abc} \cdot n = \overline{2abc}.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2024, E.322
Soluție:

abc‾⋅n=2000+abc‾.\overline{abc} \cdot n = 2000 + \overline{abc}.
abc‾(n−1)=2000.\overline{abc}(n-1)=2000.

Cum nn este o cifră ⇒n−1≤8.\Rightarrow n-1 \leq 8.
Mai mult, cum 20002000 conține în descompunerea sa doar cifrele 22 și 55 (2000=2⋅10⋅10⋅10),2000 = 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10), rezultă că pentru n−1n-1 putem avea doar cazurile:

  • n−1=2⇒n=3n-1=2 \Rightarrow n=3 și abc‾=1000\overline{abc}=1000 - nu convine;
  • n−1=4⇒n=5n-1=4 \Rightarrow n=5 și abc‾=500;\overline{abc}=500;
  • n−1=5⇒n=6n-1=5 \Rightarrow n=6 și abc‾=400;\overline{abc}=400;
  • n−1=8⇒n=9n-1=8 \Rightarrow n=9 și abc‾=250.\overline{abc}=250.

Problema 6. Calculați (b+2c)(c−a)(2a+b)(b+2c)(c-a)(2a+b) știind că a+b+c=31a+b+c=31 și 2a+3b+4c=105.2a+3b+4c=105.

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2012, Nicolae Ivășchescu, E.324
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 50/12.
Soluție:

Notăm relația a+b+c=31a+b+c=31 cu AA și relația 2a+3b+4c=1052a+3b+4c=105 cu B.B.

  • din B−2A⇒b+2c=105−62=43;B-2A \Rightarrow b+2c=105-62=43;
  • din B−3A⇒c−a=105−93=12;B-3A \Rightarrow c-a=105-93=12;
  • din 4A−B⇒2a+b=124−105=194A-B \Rightarrow 2a+b=124-105=19.

Deci (b+2c)(c−a)(2a+b)=43⋅12⋅19=9904.(b+2c)(c-a)(2a+b)=43 \cdot 12 \cdot 19 = 9904.