Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

Tema 4

Lucian Maran, 13-10-2024

Problema 1. Calculați: 1+2−3+4+5−6+7+8−9+…+2005+2006−2007+2008.1+2-3+4+5-6+7+8-9+ \ldots + 2005+2006-2007+2008.

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2008, E.309
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 8/8.

Răspuns: S=672346.S=672346.

Problema 2. Determinați numerele ale căror sumă și produs sunt, ambele, egale cu 20.20.

Art, Matematică pentru excelență, 1/10, E.314

Răspuns: 2,10,1,…,1⏟8 de 1;4,5,1,…,1⏟11 de 1;2,2,5,1,…,1⏟11 de 1.2, 10, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{8 de 1}}; \quad 4, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}};\quad 2, 2, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}}.

Problema 3. În dreapta unui număr natural de două cifre scriem de încă două ori acest număr. De câte ori este mai mare numărul astfel obținut decât cel inițial?

Art, Matematică pentru excelență, 3/10, E.316

Răspuns: 10101.10101.

Problema 4. Calculați ultima cifră a sumei S=1!+2!+3!+…+2008!.S=1!+2!+3!+ \ldots + 2008!.

Olimpiadă, etapa locală, Satu-Mare, Natalia Danci, E.321

Răspuns: 3.3.

Problema 5. Aflați cifrele a, b, c, na,~b,~c,~n știind că abc‾⋅n=2abc‾.\overline{abc} \cdot n = \overline{2abc}.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2024, E.322

Răspuns: Pentru abc‾\overline{abc} și nn putem avea 33 soluții: 500500 cu 55; 400400 cu 66 și 250250 cu 9.9.

Problema 6. Calculați (b+2c)(c−a)(2a+b)(b+2c)(c-a)(2a+b) știind că a+b+c=31a+b+c=31 și 2a+3b+4c=105.2a+3b+4c=105.

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2012, Nicolae Ivășchescu, E.324
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 50/12.

Răspuns: 9904.9904.