Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

Tema 4

Lucian Maran, 13-10-2024

Problema 1. Calculați: 1+2−3+4+5−6+7+8−9+…+2005+2006−2007+2008.1+2-3+4+5-6+7+8-9+ \ldots + 2005+2006-2007+2008.

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2008, E.309
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 8/8.

Indicații: Grupăm termenii câte 33 și obținem S=(3+6+9+…+2004)+2008.S=(3+6+9 + \ldots + 2004) + 2008.

Răspuns: S=672346.S=672346.

Problema 2. Determinați numerele ale căror sumă și produs sunt, ambele, egale cu 20.20.

Art, Matematică pentru excelență, 1/10, E.314

Indicații: 20=2⋅10⋅1⋅…⋅1=4⋅5⋅1⋅…⋅1=...20=2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = ...

Răspuns: 2,10,1,…,1⏟8 de 1;4,5,1,…,1⏟11 de 1;2,2,5,1,…,1⏟11 de 1.2, 10, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{8 de 1}}; \quad 4, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}};\quad 2, 2, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}}.

Problema 3. În dreapta unui număr natural de două cifre scriem de încă două ori acest număr. De câte ori este mai mare numărul astfel obținut decât cel inițial?

Art, Matematică pentru excelență, 3/10, E.316

Indicații: Fie ab‾\overline{ab} numărul inițial. Numărul nou este ababab‾=ab‾⋅10000+ab‾⋅100+ab‾.\overline{ababab} = \overline{ab} \cdot 10000 + \overline{ab} \cdot 100 + \overline{ab}.

Răspuns: 10101.10101.

Problema 4. Calculați ultima cifră a sumei S=1!+2!+3!+…+2008!.S=1!+2!+3!+ \ldots + 2008!.

Olimpiadă, etapa locală, Satu-Mare, Natalia Danci, E.321

Indicații: Începând cu 5!5!, toate numerele conțin factorii 2 și 5, deci au ultima cifră 0.0.

Răspuns: 3.3.

Problema 5. Aflați cifrele a, b, c, na,~b,~c,~n știind că abc‾⋅n=2abc‾.\overline{abc} \cdot n = \overline{2abc}.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2024, E.322

Indicația 1: abc‾(n−1)=2000.\overline{abc}(n-1)=2000.

Indicația 2: nn este o cifră, iar 20002000 conține în descompunerea sa doar produse de 22 și 5.5.

Răspuns: Pentru abc‾\overline{abc} și nn putem avea 33 soluții: 500500 cu 55; 400400 cu 66 și 250250 cu 9.9.

Problema 6. Calculați (b+2c)(c−a)(2a+b)(b+2c)(c-a)(2a+b) știind că a+b+c=31a+b+c=31 și 2a+3b+4c=105.2a+3b+4c=105.

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2012, Nicolae Ivășchescu, E.324
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 50/12.

Indicații: Notăm relația a+b+c=31a+b+c=31 cu AA și relația 2a+3b+4c=1052a+3b+4c=105 cu B.B. Din B−2A⇒b+2c=43.B-2A \Rightarrow b+2c=43.

Răspuns: 9904.9904.