Șiruri de numere

Șiruri de numere

Nivel introductiv

E.360. Un tâlhar împarte prada cu tovarășul său de răutăți. Dintr-un săculeț care conține 60006000 de monede de 11 galben, el scoate, pe rând, câte o monedă, numărând: "Una la tine, una la mine; a doua la tine, una, două la mine; a treia la tine, una, două, trei la mine; ..." și, la fiecare număr rostit, așează câte o monedă în fața sa ori a tovarășului său. Aflați ce sumă revine fiecăruia din cei doi tâlhari.

Art, Matematică pentru excelență, 18/25
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: După nn pași, tâlharul B primește nn monede, iar tâlharul A primește n(n+1):2n(n+1):2 monede.

Răspuns: 109109 și 5891.5891.

Soluție:
pas 1 pas 2 pas 3 ... pas n
Tovarășul care primește (B) 1 1 1 ... 1
Tâlharul care împarte (A) 1 2 3 ... n

După nn pași, tâlharul B primește nn monede, iar tâlharul A primește n(n+1):2n(n+1):2 monede.
Căutăm cea mai mare valoare a lui nn pentru care n+n(n+1):2≤6000.n + n(n+1):2 \leq 6000. Prin încercări găsim n=108.n=108.
Așadar, după 108 pași, tâlharul B primește 108108 monede, iar tâlharul A primește 108(109+1):2=5886108(109+1):2=5886 monede.

Mai rămân de împărțit 6000−(108+5886)=66000-(108 + 5886) = 6 monede. În concluzie, după 109109 pași:

  • tâlharul B primește 108+1=109108+1 = 109 monede;
  • tâlharul A primește 5886+5=58915886 + 5 = 5891 monede.

E.395. Se consideră șirul de numere naturale 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,….1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, \ldots. Determinați al 20062006-lea termen al șirului.

Art, 56/96, performanță și olimpiade
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: După nn rânduri avem n(n+1):2n(n+1):2 termeni. Căutăm cel mai mare nn care satisface condiția n(n+1):2≤2006.n(n+1):2 \leq 2006.

Răspuns: 63.63.

Soluție:

Așezăm numerele pe rânduri:

  • 11\quad (rândul 1⇒11 \Rightarrow 1 termen),
  • 2,2,2,2,\quad (rândul 2 ⇒1+2\Rightarrow 1+2 termeni),
  • 3,3,3,3,3,3,\quad (rândul 3 ⇒1+2+3\Rightarrow 1+2+3 termeni),
  • 4,4,4,4,4,4,4,4,\quad (rândul4 ⇒1+2+3+4\Rightarrow 1+2+3+4 termeni).
  • ...

Observă că după nn rânduri avem n(n+1):2n(n+1):2 termeni. Prin încercări găsim că cel mai mare nn care satisface condiția n(n+1):2≤2006n(n+1):2 \leq 2006 este 62. Așadar,

  • După 6262 de rânduri avem 62⋅63:2=195362 \cdot 63:2=1953 termeni (<2006< 2006);
  • După 6363 de rânduri avem 63⋅64:2=201663 \cdot 64:2=2016 termeni (>2006> 2006).

În concluzie, al 20062006-lea termen al șirului se află pe rândul 63,63, deci este chiar 63.63.