Exercițiul 395

Așezăm numerele pe rânduri:

• $1\quad$ (rândul $1 \Rightarrow 1$ termen),
• $2,2,\quad$ (rândul 2 $\Rightarrow 1+2$ termeni),
• $3,3,3,\quad$ (rândul 3 $\Rightarrow 1+2+3$ termeni),
• $4,4,4,4,\quad$ (rândul4 $\Rightarrow 1+2+3+4$ termeni).
• ...

Observă că după $n$ rânduri avem $n(n+1):2$ termeni. Prin încercări găsim că cel mai mare $n$ care satisface condiția $n(n+1):2 \leq 2006$ este 62. Așadar,

• După $62$ de rânduri avem $62 \cdot 63:2=1953$ termeni ($< 2006$);
• După $63$ de rânduri avem $63 \cdot 64:2=2016$ termeni ($> 2006$).

În concluzie, al $2006$-lea termen al șirului se află pe rândul $63,$ deci este chiar $63.$