Diverse

Metoda 1: Notăm $\overline{0,(a)} = x \quad | \times10$
$\overline{a,(a)} = 10x \quad | -x$
$\overline{a,(a)} - \overline{0,(a)} = 9x$
$a=9x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{a}{9}}.$

Metoda 2: $\overline{0,(a)} = 0,a + 0,0a + 0,00a + \dots =$
$= \dfrac{a}{10} + \dfrac{a}{10^2} + \dfrac{a}{10^3} + \dots =$
$=\dfrac{a}{10} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{10^k}=\dfrac{a}{10} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-\dfrac{1}{10^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{a}{10} \cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{a}{9}.$

Observație: Metoda 1 este considerată a nu fi foarte riguroasă deoarece se bazează pe presupunerea că regulile folosite pentru adunarea sau multiplicarea numerelor cu număr finit de zecimale sunt valabile și la numerele cu un număr infinit de zecimale. Această presupunere este corectă, dar necesită justificare [https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...].

Metoda 1: Notăm $\overline{a,(bc)} = x \quad | \times100$
$\overline{abc,(bc)} = 10x \quad | -x$
$\overline{abc,(bc)} - \overline{a,(bc)} = 99x$
$\overline{abc}-a=99x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{\overline{abc}-a}{99}}.$

Metoda 2: $\overline{a,(bc)} = a + (0,bc + 0,00bc + 0,0000bc + \dots )=$
$= a+ \Big(\dfrac{\overline{bc}}{10^2} + \dfrac{\overline{bc}}{10^4} + \dfrac{\overline{bc}}{10^6} + \dots \Big)=$
$=a + \dfrac{\overline{bc}}{10^2} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{10^{2k}}=a + \dfrac{\overline{bc}}{10^2} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-\dfrac{1}{10^{2n+2}}}{1-\dfrac{1}{10^2}}=$
$=a + \dfrac{\overline{bc}}{10^2} \cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10^2}}=\dfrac{a\cdot 10^2 + \overline{bc}-a}{99} = \dfrac{\overline{abc}-a}{99}.$

Metoda 1: Notăm $\overline{a,b(cd)} = x \quad | \times10$
$\overline{ab,(cd)} = 10x \quad | \times100$
$\overline{abcd,(cd)} = 1000x \quad | -10x$
$\overline{abcd,(cd)} - \overline{ab,(cd)} = 990x$
$\overline{abcd} - \overline{ab} = 990x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{\overline{abcd}-\overline{ab}}{990}}.$

Metoda 2: Ne folosimm de formula demonstrată anterior pentru $\overline{0,(ab)}.$
$\overline{a,b(cd)} = \dfrac{1}{10} \cdot \overline{ab,(cd)} = \dfrac{1}{10} \cdot (\overline{ab} + \overline{0,(cd)} = \dfrac{1}{10} \cdot \Big(\overline{ab} + \dfrac{\overline{cd}}{99}\Big) =$

$= \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{100 \cdot \overline{ab} + \overline{cd} - \overline{ab}}{99} = \dfrac{\overline{abcd}-\overline{ab}}{990}.$

$$\begin{cases} n = 8 \cdot c_1 + 5 \quad | \cdot 5\\ n = 5 \cdot c_2 + 3 \quad |\cdot 8 \end{cases}$$

Pas 1: Înmulțim cu $5$, respectiv $8$, pentru a ajunge la împărțitorul cerut (acel $40$):

$$\begin{cases} 5n = 40 \cdot c_1 + 25\\ 8n = 40 \cdot c_2 + 24 \end{cases}$$

Dacă în urma diferenței am fi obținut doar $n$ (în loc de $3n$), problema ar fi fost ca și terminată. Așadar, în pașii următori vom încerca să ajungem la $n$.

Pas 2: (opțional): Cum $5n<8n$, schimbăm ordinea celor două relații:
(Conform lemei, e de preferat ca $B$ să fie mai mic decât $A$)

$$\begin{cases} 8n = 40 \cdot c_2 + 24 \quad |\cdot x\\ 5n = 40 \cdot c_1 + 25 \quad | \cdot y \end{cases}$$

Pas 3: Căutăm două numere $x$ și $y$ astfel încât $8n \cdot x - 5n \cdot y = n,$ adică rezolvăm ecuația diofantică $\boxed{8x-5y=1}.$

Conform unei leme pe care o vom demonstra ulterior, o ecuație în $\N \times \N$ de forma $Ax-By=1,$ cu $(A,B)=1$ are întotdeauna soluție, cu valoarea minimă a lui $x$ în interiorul mulțimii $\{1, 2, \ldots ,B-1\}.$ Deci, în cazul nostru, valoarea lui $x$ se află sigur în mulțimea $\{1, 2, 3, 4\}.$

• $x=1$, nu convine;
• $\boxed{x=2}$ convine, rezultă $\boxed{y=3}.$

Pas 4: Înmulțim cu $2$, respectiv $3$ și facem scăderea:

$$\begin{cases} 16n = 40 \cdot c_2 \cdot 2 + 48\\ 15n = 40 \cdot c_1 \cdot 3 + 75 \end{cases}$$

După scădere:
$n = 40(2c_2-3c_1) - 27 = 40(2c_2-3c_1-40) + 13,$ deci $\boxed{r=13}.$