Exercițiul 755

Partea 1. Fie $m$ și $n$ cele două numere cu proprietătile din enunț, adică $(m,n)=1$ și $(n,10)=1.$ Vom trata doar cazul $m<n$ (în caz contrar, extragem partea întreagă și ajungem să tratăm tot o fracție subunitară).

Când facem împărțirea $m:n,$ fiecare cifră zecimală se obține din restul precedent $r_i$, după următoarea schemă:

$\boxed{r_i \cdot 10 : n = \text{cifră\_zecimală } + \text{rest}}.$

Cum $r_i < n$ și $(n,10)=1,$ înseamnă că împărțirea de mai sus va da întotdeauna un rest nenul, deci vom avem un număr infinit de zecimale. Mai mult, cum resturile care se pot obtine prin împărțirea la $n$ sunt $0,1,\ldots,n-1$ (adică un număr finit), înseamnă că la un moment dat resturile (deci și zecimalele) se vor repeta.

Așadar, prin împărțirea lui $m$ la $n$ obținem o fracție zecimală periodică.

Exemplu:
$~~8:27 = 0,$ rest $8$
$~~8 \cdot 10 :27 = \boxed{2},$ rest $26$
$26 \cdot 10 :27 = \boxed{9},$ rest $17$
$17 \cdot 10 :27 = \boxed{6},$ rest $8,$ iar de aici se repetă.

Deci $\boxed{8:27=0,(296)}.$

Partea a 2-a. Ne-a mai rămas să demonstrăm că zecimalele se repetă începând cu prima cifră de după virgulă. Presupunem, prin absurd, că

$\dfrac{m}{n} = 0,a_1 \ldots a_k(b_1 \ldots b_p) = \dfrac{a_1 \ldots a_k,b_1 \ldots b_p}{10^k} = \dfrac{a_1 \ldots a_k}{10^k} + \dfrac{b_1 \ldots b_p}{10^k(10^p-1)} = \dfrac{a_1 \ldots a_k(10^p-1) + b_1 \ldots b_p}{10^k(10^p-1)}.$

Deci $\dfrac{m}{n} = \dfrac{A(10^p-1) + B}{10^k(10^p-1)},$ cu $A,B \in \N.$

• Dacă $10^k \not | ~A(10^p-1) + B,$ atunci $n$ este un multiplu de $10^k,$ în contradicție cu ipoteza.
• Dacă $10^k ~~ | ~A(10^p-1) + B,$ atunci există $C \in \N$ astfel încât $A(10^p-1) + B = C \cdot 10^k.$
  Deci $\dfrac{m}{n} = \dfrac{C}{10^p-1},$ adică $\dfrac{m}{n}$ este o fracție periodică simplă (MM, 23.04.2025), în contradicție cu presupunerea inițială.

În concluzie, prin împărțirea lui $m$ la $n$ obținem o fracție zecimală periodică simplă.