Exercițiul 221

Metoda 1: Notăm $\overline{0,(a)} = x \quad | \times10$
$\overline{a,(a)} = 10x \quad | -x$
$\overline{a,(a)} - \overline{0,(a)} = 9x$
$a=9x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{a}{9}}.$

Metoda 2: $\overline{0,(a)} = 0,a + 0,0a + 0,00a + \dots =$
$= \dfrac{a}{10} + \dfrac{a}{10^2} + \dfrac{a}{10^3} + \dots =$
$=\dfrac{a}{10} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{10^k}=\dfrac{a}{10} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-\dfrac{1}{10^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{a}{10} \cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{a}{9}.$

Observație: Metoda 1 este considerată a nu fi foarte riguroasă deoarece se bazează pe presupunerea că regulile folosite pentru adunarea sau multiplicarea numerelor cu număr finit de zecimale sunt valabile și la numerele cu un număr infinit de zecimale. Această presupunere este corectă, dar necesită justificare [https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...].