Diverse

Metoda 1: Notăm $\overline{0,(a)} = x \quad | \times10$
$\overline{a,(a)} = 10x \quad | -x$
$\overline{a,(a)} - \overline{0,(a)} = 9x$
$a=9x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{a}{9}}.$

Metoda 2: $\overline{0,(a)} = 0,a + 0,0a + 0,00a + \dots =$
$= \dfrac{a}{10} + \dfrac{a}{10^2} + \dfrac{a}{10^3} + \dots =$
$=\dfrac{a}{10} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{10^k}=\dfrac{a}{10} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-\dfrac{1}{10^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{a}{10} \cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{a}{9}.$

Observație: Metoda 1 este considerată a nu fi foarte riguroasă deoarece se bazează pe presupunerea că regulile folosite pentru adunarea sau multiplicarea numerelor cu număr finit de zecimale sunt valabile și la numerele cu un număr infinit de zecimale. Această presupunere este corectă, dar necesită justificare [https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...].

Metoda 1: Notăm $\overline{a,(bc)} = x \quad | \times100$
$\overline{abc,(bc)} = 10x \quad | -x$
$\overline{abc,(bc)} - \overline{a,(bc)} = 99x$
$\overline{abc}-a=99x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{\overline{abc}-a}{99}}.$

Metoda 2: $\overline{a,(bc)} = a + (0,bc + 0,00bc + 0,0000bc + \dots )=$
$= a+ \Big(\dfrac{\overline{bc}}{10^2} + \dfrac{\overline{bc}}{10^4} + \dfrac{\overline{bc}}{10^6} + \dots \Big)=$
$=a + \dfrac{\overline{bc}}{10^2} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{10^{2k}}=a + \dfrac{\overline{bc}}{10^2} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-\dfrac{1}{10^{2n+2}}}{1-\dfrac{1}{10^2}}=$
$=a + \dfrac{\overline{bc}}{10^2} \cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10^2}}=\dfrac{a\cdot 10^2 + \overline{bc}-a}{99} = \dfrac{\overline{abc}-a}{99}.$

Metoda 1: Notăm $\overline{a,b(cd)} = x \quad | \times10$
$\overline{ab,(cd)} = 10x \quad | \times100$
$\overline{abcd,(cd)} = 1000x \quad | -10x$
$\overline{abcd,(cd)} - \overline{ab,(cd)} = 990x$
$\overline{abcd} - \overline{ab} = 990x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{\overline{abcd}-\overline{ab}}{990}}.$

Metoda 2: Ne folosimm de formula demonstrată anterior pentru $\overline{0,(ab)}.$
$\overline{a,b(cd)} = \dfrac{1}{10} \cdot \overline{ab,(cd)} = \dfrac{1}{10} \cdot (\overline{ab} + \overline{0,(cd)} = \dfrac{1}{10} \cdot \Big(\overline{ab} + \dfrac{\overline{cd}}{99}\Big) =$

$= \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{100 \cdot \overline{ab} + \overline{cd} - \overline{ab}}{99} = \dfrac{\overline{abcd}-\overline{ab}}{990}.$

$$\begin{cases} n = 8 \cdot c_1 + 5 \quad | \cdot 5\\ n = 5 \cdot c_2 + 3 \quad |\cdot 8 \end{cases}$$

Pas 1: Înmulțim cu $5$, respectiv $8$, pentru a ajunge la împărțitorul cerut (acel $40$):

$$\begin{cases} 5n = 40 \cdot c_1 + 25\\ 8n = 40 \cdot c_2 + 24 \end{cases}$$

Dacă în urma diferenței am fi obținut doar $n$ (în loc de $3n$), problema ar fi fost ca și terminată. Așadar, în pașii următori vom încerca să ajungem la $n$.

Pas 2: (opțional): Cum $5n<8n$, schimbăm ordinea celor două relații:
(Conform lemei, e de preferat ca $B$ să fie mai mic decât $A$)

$$\begin{cases} 8n = 40 \cdot c_2 + 24 \quad |\cdot x\\ 5n = 40 \cdot c_1 + 25 \quad | \cdot y \end{cases}$$

Pas 3: Căutăm două numere $x$ și $y$ astfel încât $8n \cdot x - 5n \cdot y = n,$ adică rezolvăm ecuația diofantică $\boxed{8x-5y=1}.$

Conform unei leme pe care o vom demonstra ulterior, o ecuație în $\N \times \N$ de forma $Ax-By=1,$ cu $(A,B)=1$ are întotdeauna soluție, cu valoarea minimă a lui $x$ în interiorul mulțimii $\{1, 2, \ldots ,B-1\}.$ Deci, în cazul nostru, valoarea lui $x$ se află sigur în mulțimea $\{1, 2, 3, 4\}.$

• $x=1$, nu convine;
• $\boxed{x=2}$ convine, rezultă $\boxed{y=3}.$

Pas 4: Înmulțim cu $2$, respectiv $3$ și facem scăderea:

$$\begin{cases} 16n = 40 \cdot c_2 \cdot 2 + 48\\ 15n = 40 \cdot c_1 \cdot 3 + 75 \end{cases}$$

După scădere:
$n = 40(2c_2-3c_1) - 27 = 40(2c_2-3c_1-40) + 13,$ deci $\boxed{r=13}.$

Partea 1. Fie $m$ și $n$ cele două numere cu proprietătile din enunț, adică $(m,n)=1$ și $(n,10)=1.$ Vom trata doar cazul $m<n$ (în caz contrar, extragem partea întreagă și ajungem să tratăm tot o fracție subunitară).

Când facem împărțirea $m:n,$ fiecare cifră zecimală se obține din restul precedent $r_i$, după următoarea schemă:

$\boxed{r_i \cdot 10 : n = \text{cifră\_zecimală } + \text{rest}}.$

Cum $r_i < n$ și $(n,10)=1,$ înseamnă că împărțirea de mai sus va da întotdeauna un rest nenul, deci vom avem un număr infinit de zecimale. Mai mult, cum resturile care se pot obtine prin împărțirea la $n$ sunt $0,1,\ldots,n-1$ (adică un număr finit), înseamnă că la un moment dat resturile (deci și zecimalele) se vor repeta.

Așadar, prin împărțirea lui $m$ la $n$ obținem o fracție zecimală periodică.

Exemplu:
$~~8:27 = 0,$ rest $8$
$~~8 \cdot 10 :27 = \boxed{2},$ rest $26$
$26 \cdot 10 :27 = \boxed{9},$ rest $17$
$17 \cdot 10 :27 = \boxed{6},$ rest $8,$ iar de aici se repetă.

Deci $\boxed{8:27=0,(296)}.$

Partea a 2-a. Ne-a mai rămas să demonstrăm că zecimalele se repetă începând cu prima cifră de după virgulă. Presupunem, prin absurd, că

$\dfrac{m}{n} = 0,a_1 \ldots a_k(b_1 \ldots b_p) = \dfrac{a_1 \ldots a_k,b_1 \ldots b_p}{10^k} = \dfrac{a_1 \ldots a_k}{10^k} + \dfrac{b_1 \ldots b_p}{10^k(10^p-1)} = \dfrac{a_1 \ldots a_k(10^p-1) + b_1 \ldots b_p}{10^k(10^p-1)}.$

Deci $\dfrac{m}{n} = \dfrac{A(10^p-1) + B}{10^k(10^p-1)},$ cu $A,B \in \N.$

• Dacă $10^k \not | ~A(10^p-1) + B,$ atunci $n$ este un multiplu de $10^k,$ în contradicție cu ipoteza.
• Dacă $10^k ~~ | ~A(10^p-1) + B,$ atunci există $C \in \N$ astfel încât $A(10^p-1) + B = C \cdot 10^k.$
  Deci $\dfrac{m}{n} = \dfrac{C}{10^p-1},$ adică $\dfrac{m}{n}$ este o fracție periodică simplă (MM, 23.04.2025), în contradicție cu presupunerea inițială.

În concluzie, prin împărțirea lui $m$ la $n$ obținem o fracție zecimală periodică simplă.