General

General

Nivel introductiv

E.211. Se dau dreptunghiul ABCD, DC=6, ED=2ABCD,~DC=6,~ED=2 și BEC^=45°.\widehat{BEC} = 45\degree. Să se calculeze aria triunghiului BEC.BEC.

MM, 21.02.2024 (Tiberiu Stroia, preluată)
Soluție
Soluție:

Fie F∈(EBF \in (EB astfel încât FCE^=90°\widehat{FCE} = 90\degree și BG⊥CFBG \perp CF.
Deci C^1=C^2\widehat{C}_1=\widehat{C}_2 și EFC^=45°,\widehat{EFC}=45\degree, adică CF=CE=210.\boxed{CF=CE=2\sqrt{10}}.

△CGB∼△CDE⇒210−x6=x2=CB210.\triangle CGB \sim \triangle CDE \Rightarrow \dfrac{2\sqrt{10}-x}{6} = \dfrac{x}{2} = \dfrac{CB}{2\sqrt{10}}.
De aici x=102⇒CB=5⇒SBEC=15.\boxed{x=\dfrac{\sqrt{10}}{2}} \Rightarrow \boxed{CB=5} \Rightarrow \boxed{S_{BEC}=15}.

Vezi și alte soluții pe grupul MateMaraton.

E.212. Se dă sfertul de cerc BDBD de centru OO și rază OBOB, DC=CO,DC=CO, BAC^=90°\widehat{BAC} = 90\degree și BC=5.BC=\sqrt{5}. Se cere aria triunghiului ABC.ABC.

SABC= ?S_{ABC}=~?

24.02.2024 (Tiberiu Stroia, preluată)
Soluție
Soluție:


Soluția 1. Fie AC∩BO={T}.AC \cap BO=\{T\}. Cum A^=90°⇒T∈C\widehat{A}=90\degree \Rightarrow T \in \cal{C}(O,OB),(O, OB), deci OT=2.\boxed{OT=2}.

Din OB=2⋅CO⇒CO=1 și OB=2.OB=2 \cdot CO \Rightarrow \boxed{CO=1 \text { și } OB=2}.

△TOC∼△TAB⇒TCTB=OCAB⇒AB=45 ⇒TPAC=35⇒SABC=65.\triangle TOC \sim \triangle TAB \Rightarrow \dfrac{TC}{TB} = \dfrac{OC}{AB} \Rightarrow \boxed{AB=\dfrac{4}{\sqrt{5}}}~ \overset{TP}{\Rightarrow} \boxed{AC=\dfrac{3}{\sqrt{5}}} \Rightarrow \boxed{S_{ABC}=\dfrac{6}{5}}.

Soluția 2. SATB=2⋅SAOB=2⋅2⋅2⋅sin⁡α2=4sin⁡2β=8sin⁡βcos⁡β=8⋅15⋅25=165.S_{ATB} = 2 \cdot S_{AOB} = 2 \cdot \dfrac{2\cdot 2 \cdot \sin\alpha}{2} = 4 \sin 2\beta = 8\sin\beta \cos\beta = 8 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{16}{5}.
SABC=SATB−SCTB=165−2=65.S_{ABC} = S_{ATB}-S_{CTB}=\dfrac{16}{5}-2 = \dfrac{6}{5}.

E.213. Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui triunghi echilateral nu pot fi toate numere întregi.

MM, 27.02.2024
Nikos Iosifidis, 1992, https://www.youtube.com/watch?v=6jLD01c-35w
Soluție
Soluție:

Oricum am poziționa triunghiul, cel puțin două dintre laturile sale nu vor fi paralele cu axa Oy. Fie aceste laturi BCBC și BABA, care fac cu orizontala unghiurile α,\alpha, respectiv β.\beta.

Presupunând, prin absurd, că toate coordonatele sunt numere întregi, avem:

tg⁡α=y3−y2x3−x2∈Q\tg \alpha = \dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2} \in \Q și tg⁡β=y1−y2x1−x2∈Q.\tg \beta = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \in \Q.

3=tg⁡60°=tgB^=tg⁡(β−α)=tg⁡β−tg⁡α1+tg⁡βtg⁡α∈Q,\sqrt{3}=\tg 60\degree = tg \widehat{B} = \tg (\beta - \alpha) = \dfrac{\tg \beta - \tg \alpha}{1+\tg \beta \tg \alpha} \in \Q, contradicție.

E.333.

Bălănoiu Cristian (Facebook)
Răspuns | Soluție

Răspuns: 5136.\dfrac{5\sqrt{13}}{6}.

Soluție:

Fie AD⊥BC, OM⊥BC, ON⊥AD, ND=x.AD \perp BC,~ OM \perp BC,~ ON \perp AD,~ ND=x.
S=AD⋅BC2⇒AD=3⇒BD=4.S=\dfrac{AD \cdot BC}{2} \Rightarrow \boxed{AD=3} \Rightarrow \boxed{BD=4}.
△OBC\triangle OBC isoscel ⇒BM=3⇒MD=1.\Rightarrow \boxed{BM=3} \Rightarrow \boxed{MD=1}.
R2=32+x2=12+(3−x)2⇒x=1/6⇒R=5136.R^2 = 3^2+x^2 = 1^2+(3-x)^2 \Rightarrow \boxed{x=1/6} \Rightarrow \boxed{R=\dfrac{5\sqrt{13}}{6}}.