E.212. Se dă sfertul de cerc BDBDBD de centru OOO și rază OBOBOB, DC=CO,DC=CO,DC=CO, BAC^=90°\widehat{BAC} = 90\degreeBAC=90° și BC=5.BC=\sqrt{5}.BC=5. Se cere aria triunghiului ABC.ABC.ABC.
SABC= ?S_{ABC}=~?SABC= ?
Soluția 1. Fie AC∩BO={T}.AC \cap BO=\{T\}.AC∩BO={T}. Cum A^=90°⇒T∈C\widehat{A}=90\degree \Rightarrow T \in \cal{C}A=90°⇒T∈C(O,OB),(O, OB),(O,OB), deci OT=2.\boxed{OT=2}.OT=2.
Din OB=2⋅CO⇒CO=1 și OB=2.OB=2 \cdot CO \Rightarrow \boxed{CO=1 \text { și } OB=2}.OB=2⋅CO⇒CO=1 și OB=2.
△TOC∼△TAB⇒TCTB=OCAB⇒AB=45 ⇒TPAC=35⇒SABC=65.\triangle TOC \sim \triangle TAB \Rightarrow \dfrac{TC}{TB} = \dfrac{OC}{AB} \Rightarrow \boxed{AB=\dfrac{4}{\sqrt{5}}}~ \overset{TP}{\Rightarrow} \boxed{AC=\dfrac{3}{\sqrt{5}}} \Rightarrow \boxed{S_{ABC}=\dfrac{6}{5}}.△TOC∼△TAB⇒TBTC=ABOC⇒AB=54 ⇒TPAC=53⇒SABC=56.
Soluția 2. SATB=2⋅SAOB=2⋅2⋅2⋅sinα2=4sin2β=8sinβcosβ=8⋅15⋅25=165.S_{ATB} = 2 \cdot S_{AOB} = 2 \cdot \dfrac{2\cdot 2 \cdot \sin\alpha}{2} = 4 \sin 2\beta = 8\sin\beta \cos\beta = 8 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{16}{5}.SATB=2⋅SAOB=2⋅22⋅2⋅sinα=4sin2β=8sinβcosβ=8⋅51⋅52=516. SABC=SATB−SCTB=165−2=65.S_{ABC} = S_{ATB}-S_{CTB}=\dfrac{16}{5}-2 = \dfrac{6}{5}.SABC=SATB−SCTB=516−2=56.
