Exercițiul 213

E.213. Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui triunghi echilateral nu pot fi toate numere întregi.

MM, 27.02.2024
Nikos Iosifidis, 1992, https://www.youtube.com/watch?v=6jLD01c-35w
Soluție
Soluție:

Oricum am poziționa triunghiul, cel puțin două dintre laturile sale nu vor fi paralele cu axa Oy. Fie aceste laturi BCBC și BABA, care fac cu orizontala unghiurile α,\alpha, respectiv β.\beta.

Presupunând, prin absurd, că toate coordonatele sunt numere întregi, avem:

tg⁡α=y3−y2x3−x2∈Q\tg \alpha = \dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2} \in \Q și tg⁡β=y1−y2x1−x2∈Q.\tg \beta = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \in \Q.

3=tg⁡60°=tgB^=tg⁡(β−α)=tg⁡β−tg⁡α1+tg⁡βtg⁡α∈Q,\sqrt{3}=\tg 60\degree = tg \widehat{B} = \tg (\beta - \alpha) = \dfrac{\tg \beta - \tg \alpha}{1+\tg \beta \tg \alpha} \in \Q, contradicție.