Ecuații de forma ax+b=0. Mulțimea soluțiilor unei ecuații. Ecuații echivalente
E.198. Rezolvați ecuația: 0 , 3 x − 0 , 6 = 0 , 1 x + 0 , 8. 0,3x-0,6=0,1x+0,8. 0 , 3 x − 0 , 6 = 0 , 1 x + 0 , 8.
Soluție:
Înmulțim ecuația cu 10 10 10 3 x − 6 = x + 8 3x-6=x+8 3 x − 6 = x + 8 3 x − x = 8 + 6 3x-x=8+6 3 x − x = 8 + 6 2 x = 14 ⇒ x = 7 . 2x=14 \Rightarrow \boxed{x=7}. 2 x = 14 ⇒ x = 7 .
E.199. Determinați soluția ecuației: 2 ( x + 2 − 5 ) + 3 = x ( 5 − 2 ) . 2(x+\sqrt{2}-\sqrt{5})+3 = x(\sqrt{5}-\sqrt{2}). 2 ( x + 2 − 5 ) + 3 = x ( 5 − 2 ) .
Soluție:
2 x + 2 2 − 2 5 + 4 = x 5 − x 2 . 2x+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}+4= x\sqrt{5}-x\sqrt{2}. 2 x + 2 2 − 2 5 + 4 = x 5 − x 2 . 2 x − x 5 + x 2 = 2 5 − 2 2 − 4. 2x-x\sqrt{5} + x\sqrt{2} = 2\sqrt{5}-2\sqrt{2}-4. 2 x − x 5 + x 2 = 2 5 − 2 2 − 4. x ( 2 − 5 + 2 ) = 2 ( 5 − 2 − 2 ) . x(2-\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2(\sqrt{5}-\sqrt{2}-2). x ( 2 − 5 + 2 ) = 2 ( 5 − 2 − 2 ) .
x = 2 ( 5 − 2 − 2 ) 2 − 5 + 2 = − 2 ( 2 − 5 + 2 ) 2 − 5 + 2 ⇒ x = − 2 . x=\dfrac{2(\sqrt{5}-\sqrt{2}-2)}{2-\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \dfrac{-2\cancel{(2-\sqrt{5}+\sqrt{2})}}{\cancel{2-\sqrt{5} + \sqrt{2}}} \Rightarrow \boxed{x=-2}. x = 2 − 5 + 2 2 ( 5 − 2 − 2 ) = 2 − 5 + 2 − 2 ( 2 − 5 + 2 ) ⇒ x = − 2 .
E.200. Determinați numărul real m m m − 3 x + 4 ( m x − 1 ) = 6 x + 2 − 7 ( m + 2 ) -3x+4(mx-1)=6x+2-7(m+2) − 3 x + 4 ( m x − 1 ) = 6 x + 2 − 7 ( m + 2 ) 3 3 3
Indicații: Se înlocuiește x x x 3. 3. 3.
Soluție:
Înlocuim pe x x x 3 3 3 − 3 ⋅ 3 + 4 ( 3 m − 1 ) = 6 ⋅ 3 + 2 − 7 ( m + 2 ) . -3\cdot 3 + 4(3m-1)=6\cdot 3 +2-7(m+2). − 3 ⋅ 3 + 4 ( 3 m − 1 ) = 6 ⋅ 3 + 2 − 7 ( m + 2 ) . − 9 + 12 m − 4 = 20 − 7 m − 14 -9+12m-4=20-7m-14 − 9 + 12 m − 4 = 20 − 7 m − 14 12 m + 7 m = 20 − 14 + 9 + 4 12m+7m=20-14+9+4 12 m + 7 m = 20 − 14 + 9 + 4 19 m = 19 ⇒ m = 1 . 19m=19 \Rightarrow \boxed{m=1}. 19 m = 19 ⇒ m = 1 .
E.201. Determinați valorile lui m ∈ R m \in \R m ∈ R 2 ( 3 x − 4 ) − 4 m = x ( m + 1 ) 2(3x-4)-4m=x(m+1) 2 ( 3 x − 4 ) − 4 m = x ( m + 1 ) x − 5 ( x − 1 ) = x ⋅ ( − 1 ) 2011 . x-5(x-1)=x \cdot (-1)^{2011}. x − 5 ( x − 1 ) = x ⋅ ( − 1 ) 2011 .
Indicații: Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași soluție. Aflăm întâi soluția celei de a 2-a ecuații:
Răspuns: m = 1 17 . m=\dfrac{1}{17}. m = 17 1 .
Soluție:
Aflăm soluția celei de a 2-a ecuații:x − 5 x + 5 = x ⋅ ( − 1 ) . x-5x+5=x \cdot (-1). x − 5 x + 5 = x ⋅ ( − 1 ) . − 4 x + 5 = − x -4x+5 = -x − 4 x + 5 = − x 5 = 4 x − x ⇒ x = 5 3 . 5=4x-x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{5}{3}}. 5 = 4 x − x ⇒ x = 3 5 .
Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași soluție. Deci, în prima ecuație, înlocuim pe x x x 5 3 : \dfrac{5}{3}: 3 5 : 2 ( 3 ⋅ 5 3 − 4 ) − 4 m = 5 3 ⋅ ( m + 1 ) 2(\cancel{3} \cdot \dfrac{5}{\cancel{3}}-4)-4m=\dfrac{5}{3} \cdot (m+1) 2 ( 3 ⋅ 3 5 − 4 ) − 4 m = 3 5 ⋅ ( m + 1 ) 2 − 4 m = 5 ( m + 1 ) 3 2-4m = \dfrac{5(m+1)}{3} 2 − 4 m = 3 5 ( m + 1 ) 6 − 12 m = 5 m + 5 6-12m=5m+5 6 − 12 m = 5 m + 5 6 − 5 = 12 m + 5 m ⇒ m = 1 17 . 6-5=12m+5m \Rightarrow \boxed{m=\dfrac{1}{17}}. 6 − 5 = 12 m + 5 m ⇒ m = 17 1 .