Exercițiul 201

E.201. Determinați valorile lui m∈Rm \in \R pentru care următoarele ecuații sunt echivalente:
2(3x−4)−4m=x(m+1)2(3x-4)-4m=x(m+1) și x−5(x−1)=x⋅(−1)2011.x-5(x-1)=x \cdot (-1)^{2011}.

Art, 17b/14, **
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași soluție. Aflăm întâi soluția celei de a 2-a ecuații:

Răspuns: m=117.m=\dfrac{1}{17}.

Soluție:

Aflăm soluția celei de a 2-a ecuații:
x−5x+5=x⋅(−1).x-5x+5=x \cdot (-1).
−4x+5=−x-4x+5 = -x
5=4x−x⇒x=53.5=4x-x \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{5}{3}}.

Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași soluție. Deci, în prima ecuație, înlocuim pe xx cu 53:\dfrac{5}{3}:
2(3⋅53−4)−4m=53⋅(m+1)2(\cancel{3} \cdot \dfrac{5}{\cancel{3}}-4)-4m=\dfrac{5}{3} \cdot (m+1)
2−4m=5(m+1)32-4m = \dfrac{5(m+1)}{3}
6−12m=5m+56-12m=5m+5
6−5=12m+5m⇒m=117.6-5=12m+5m \Rightarrow \boxed{m=\dfrac{1}{17}}.