Rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv

Rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv

Rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv aa este numărul pozitiv xx cu proprietatea x2=a.x^2=a. Notăm x=a.x=\sqrt{a}.
Exemplu: Rădăcina pătrată a lui 3649\dfrac{36}{49} se notează cu 3649\sqrt{\dfrac{36}{49}} și este egală cu 67.\dfrac{6}{7}.

Proprietăți:

  • a≥0,\sqrt{a} \geq 0, pentru orice a∈Q+a \in \Q_+
  • (a)2=a,(\sqrt{a})^2 =a, pentru orice a∈Q+a \in \Q_+
  • a2=∣a∣,\sqrt{a^2} = |a|, pentru orice a∈Qa \in \Q

Exemple: (35)2=35;(−35)2=∣−35∣=35;\quad \sqrt{\bigg(\dfrac{3}{5}\bigg)^2}=\dfrac{3}{5}; \quad \sqrt{\bigg(-\dfrac{3}{5}\bigg)^2}=\bigg|-\dfrac{3}{5}\bigg| = \dfrac{3}{5};

Nivel introductiv

E.156. Dacă xx, yy, z∈Q+z \in \Q_+ și xy+yz+zx=2023,xy+yz+zx=2023, arătați că (x2+2023)(y2+2023)(z2+2023)∈Q.\sqrt{(x^2+2023)(y^2+2023)(z^2+2023)} \in \Q.

Olimpiadă, etapa locală, Neamț, 2023
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: x2+2023=x2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z)x^2+2023=x^2+xy+yz+zx = (x+y)(x+z) și analoagele.

Răspuns: (x+y)(y+z)(z+x)(x+y)(y+z)(z+x)

Soluție:

x2+2023=x2+xy+yz+zx=x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z).x^2+2023=x^2+xy+yz+zx = x(x+y) + z(x+y) = (x+y)(x+z).
Analog pentru y2+2023y^2+2023 și z2+2023.z^2+2023.
Deci (x2+2023)(y2+2023)(z2+2023)=(x+y)2(y+z)2(z+x)2(x^2+2023)(y^2+2023)(z^2+2023) = (x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2, și de aici concluzia.

E.158. Arătați că (1+2+3+…+n)2+(n+1)3\sqrt{(1+2+3+ \ldots + n)^2 + (n+1)^3} este număr rațional, pentru orice n∈N.n\in \N.

Anamaria Nagy, Maria Kalisch, Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2019
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Gauss, apoi factor comun pe (n+1).(n+1).

Răspuns: (n+1)(n+2)2∈Q.\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \in \Q.

Soluție:

(1+2+3+…+n)2+(n+1)3=(n(n+1)2)2+(n+1)3=(n+1)2(n24+n+1)=(n+1)2⋅(n+2)222(1+2+3+ \ldots + n)^2 + (n+1)^3 = \bigg(\dfrac{n(n+1)}{2}\bigg)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2 \bigg(\dfrac{n^2}{4} + n + 1 \bigg) = (n+1)^2 \cdot \dfrac{(n+2)^2}{2^2}
Deci (1+2+3+…+n)2+(n+1)3=(n+1)(n+2)2∈Q.\sqrt{(1+2+3+ \ldots + n)^2 + (n+1)^3} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \in \Q.

Obs: Cel puțin unul din numerele n+1n+1 sau n+2n+2 este par, deci rezultatul obținut este chiar un număr natural.

E.157. Demonstrați că numărul x=2023⋅(1−12)⋅(1−13)⋅(1−14)⋅…⋅(1−12023)x=\sqrt{2023 \cdot \bigg(1-\dfrac{1}{2}\bigg) \cdot \bigg(1-\dfrac{1}{3}\bigg) \cdot \bigg(1-\dfrac{1}{4}\bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg(1-\dfrac{1}{2023}\bigg)} este rațional.

Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2023
Indicații (1) | Răspuns

Indicații: Aducem la același numitor, apoi simplificăm.

Răspuns: x=1x=1