E.158. Arătați că (1+2+3+…+n)2+(n+1)3\sqrt{(1+2+3+ \ldots + n)^2 + (n+1)^3}(1+2+3+…+n)2+(n+1)3 este număr rațional, pentru orice n∈N.n\in \N.n∈N.
Indicații: Gauss, apoi factor comun pe (n+1).(n+1).(n+1).
Răspuns: (n+1)(n+2)2∈Q.\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \in \Q.2(n+1)(n+2)∈Q.
(1+2+3+…+n)2+(n+1)3=(n(n+1)2)2+(n+1)3=(n+1)2(n24+n+1)=(n+1)2⋅(n+2)222(1+2+3+ \ldots + n)^2 + (n+1)^3 = \bigg(\dfrac{n(n+1)}{2}\bigg)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2 \bigg(\dfrac{n^2}{4} + n + 1 \bigg) = (n+1)^2 \cdot \dfrac{(n+2)^2}{2^2}(1+2+3+…+n)2+(n+1)3=(2n(n+1))2+(n+1)3=(n+1)2(4n2+n+1)=(n+1)2⋅22(n+2)2 Deci (1+2+3+…+n)2+(n+1)3=(n+1)(n+2)2∈Q.\sqrt{(1+2+3+ \ldots + n)^2 + (n+1)^3} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \in \Q.(1+2+3+…+n)2+(n+1)3=2(n+1)(n+2)∈Q.
Obs: Cel puțin unul din numerele n+1n+1n+1 sau n+2n+2n+2 este par, deci rezultatul obținut este chiar un număr natural.