Exercițiul 156

E.156. Dacă xx, yy, z∈Q+z \in \Q_+ și xy+yz+zx=2023,xy+yz+zx=2023, arătați că (x2+2023)(y2+2023)(z2+2023)∈Q.\sqrt{(x^2+2023)(y^2+2023)(z^2+2023)} \in \Q.

Olimpiadă, etapa locală, Neamț, 2023
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: x2+2023=x2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z)x^2+2023=x^2+xy+yz+zx = (x+y)(x+z) și analoagele.

Răspuns: (x+y)(y+z)(z+x)(x+y)(y+z)(z+x)

Soluție:

x2+2023=x2+xy+yz+zx=x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z).x^2+2023=x^2+xy+yz+zx = x(x+y) + z(x+y) = (x+y)(x+z).
Analog pentru y2+2023y^2+2023 și z2+2023.z^2+2023.
Deci (x2+2023)(y2+2023)(z2+2023)=(x+y)2(y+z)2(z+x)2(x^2+2023)(y^2+2023)(z^2+2023) = (x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2, și de aici concluzia.