Elementele și cardinalul unei mulțimi

Tema 1

Lucian Maran, 07-09-2024

Problema 1. Aflați numărul elementelor mulțimilor AA și BB, dacă A={x∈N∣6<x≤2020}A=\{x\in \N \mid 6 < x \leq 2020\} și B={x∈N∣22015<x≤22020}B=\{x\in \N \mid 2^{2015}<x\leq 2^{2020} \}.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020, E.125
Soluție:

A={7,8,9,⋯ ,2020}⇒card A=(2020−7)+1A=\{7, 8, 9, \cdots, 2020\} \Rightarrow card~A=(2020-7)+1. Deci card A=2014\boxed{card~A=2014}.

card B=22020−(22015+1)+1=22020−22015=22015(25−1)card~B=2^{2020} - (2^{2015}+1)+1 = 2^{2020}-2^{2015}=2^{2015}(2^5-1). Deci card B=31⋅22015\boxed{card~B=31 \cdot 2^{2015}}.

Problema 2. Determinați cardinalul mulțimii A={ab‾ ∣ 16a2+b∈N}A=\bigg\{ \overline{ab} ~ \bigg | ~ \dfrac{16}{a^2+b} \in \N \bigg\}.

Olimpiadă, etapa locală, Satu Mare, 2020, E.127
Soluție:

16a2+b∈N⇒a2+b∈{1,2,4,8,16}\dfrac{16}{a^2+b} \in \N \Rightarrow a^2+b \in \{1, 2, 4, 8, 16\}.

∙a2+b=1⇒ab‾∈{10}\bullet \quad a^2+b = 1 \Rightarrow \overline{ab} \in \{10 \};

∙a2+b=2⇒ab‾∈{11}\bullet \quad a^2+b = 2 \Rightarrow \overline{ab} \in \{11 \};

∙a2+b=4⇒ab‾∈{13,20}\bullet \quad a^2+b = 4 \Rightarrow \overline{ab} \in \{13, 20 \};

∙a2+b=8⇒ab‾∈{17,24}\bullet \quad a^2+b = 8 \Rightarrow \overline{ab} \in \{17, 24 \};

∙a2+b=16⇒ab‾∈{37,40}\bullet \quad a^2+b = 16 \Rightarrow \overline{ab} \in \{37, 40 \};

Deci A={10,11,13,20,17,24,37,40}⇒card A=8A=\{10, 11, 13, 20, 17, 24, 37, 40\} \Rightarrow \boxed{card~A=8}.

Problema 3. Fie A={n∈N ∣ 236<n<324}A=\{n \in \N ~\big|~ 2^{36} < n < 3^{24} \} și B={n∈N ∣ 248<n<332}B=\{n \in \N ~\big |~ 2^{48} < n < 3^{32} \}. Care din mulțimile AA și BB au cardinalul mai mare?

Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2020, E.128
Lipsește soluția

Problema 4. Fie mulțimea A={3, 9, 15, ⋯ , 2013}A=\{3,~ 9,~ 15,~ \cdots,~2013\}.
a) Arătați că 597∈A597 \in A și 727∉A727 \not \in A.
b) Calculați suma elementelor din mulțimea AA.
c) Arătați că, oricare ar fi nn număr natural nenul, suma primelor nn elemente din AA, luate în ordine crescătoare, nu este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2020, E.135
Soluție:

a) Elementele mulțimii AA sunt de forma 6k+3, k∈{0,1,2,...,335}.6k+3,~ k \in \{0,1,2,...,335\}.

  • 597=6⋅99+3597 = 6 \cdot 99 + 3, deci 597∈A;597 \in A;
  • 727=6⋅121+1727 = 6 \cdot 121 + 1, deci 727∉A;727 \not\in A;

b) S=6(0+1+2+...+335)+3⋅336=3⋅3362=338688.S = 6(0+1+2+...+335) + 3 \cdot 336 = 3 \cdot 336^2 = 338688.

c) S=6[0+1+2+...+(n−1)]+3n=3n2,S = 6[0+1+2+...+(n-1)] + 3n = 3n^2, care nu este pătrat perfect.

Problema 5. Să se determine cardinalul mulțimii A={(a, b) ∣ ab‾+ba‾A=\{(a,~b) ~|~ \overline{ab} + \overline{ba} este pătrat perfect}\}.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2012, E.136
Soluție:

ab‾+ba‾=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)\overline{ab} + \overline{ba} = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b).
11(a+b)11(a+b) este pătrat perfect ⇒(a+b)=M11\Rightarrow (a+b)=M_{11}.
Cum aa și bb sunt cifre ⇒a+b=11\Rightarrow a+b=11, deci A={(2 9), (3,8), ⋯ , (9, 2)}A=\{(2~9),~ (3,8),~ \cdots,~(9,~2)\}.
În total sunt (9−2)+1(9-2)+1 perechi, deci Card A=8\boxed{Card~ A = 8}.

Problema 6. Se consideră mulțimea A={3n+1 ∣ n∈N, 0<n≤169}A=\{3n+1 ~|~ n \in \N,~ 0<n \leq 169\}. Arătați că:
a) mulțimea AA conține cel puțin 33 numere prime, cel puțin două pătrate perfecte și cel puțin un cub perfect.
b) nu se pot alege patru numere diferite din mulțimea AA astfel încât suma lor să fie egală cu 20122012.

Olimpiadă, etapa locală, Caraș-Severin, 2013, E.138
RMCS nr. 40
Soluție:

a) Nr. prime și pătratele perfecte se găsesc prin încercări pe primele 66 valori ale lui nn.
Pentru cuburi perfecte, verificăm pe rând 232^3, 333^3 etc și constatăm că 434^3 este primul care este de forma 3k+13k+1.

b) Fie n1=3a+1n_1=3a+1, n2=3b+1n_2=3b+1, n3=3c+1n_3=3c+1 și n4=3d+1n_4=3d+1 cele 4 numere. Suma lor este S=3(a+b+c+d)+4.S = 3(a+b+c+d) + 4.
S≠2012S \not= 2012 pentru că 3(a+b+c+d)≠2008.3(a+b+c+d)\not= 2008.